Номер 20, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямыми $DF$ и $CF_1$.

21. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Все рёбра равны $1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра основания $a = 1$.

Высота призмы $h = 1$.

Найти:

Синус угла между прямыми $DF$ и $CF_1$, т.е. $\sin(\angle(DF, CF_1))$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат.

Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.

Длина стороны правильного шестиугольника $a=1$.

Координаты вершин нижнего основания (плоскость $z=0$):

$A=(1, 0, 0)$

$B=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C=(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D=(-1, 0, 0)$

$E=(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F=(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Высота призмы $h=1$, поэтому координаты вершин верхнего основания (плоскость $z=1$) будут иметь такие же $x$ и $y$ координаты, но $z$ координату равную $1$.

Нам нужны координаты точек $D, F, C, F_1$:

$D=(-1, 0, 0)$

$F=(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C=(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F_1=(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем векторы, соответствующие прямым $DF$ и $CF_1$.

Вектор $\vec{DF}$:

$\vec{DF} = F - D = (\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Вектор $\vec{CF_1}$:

$\vec{CF_1} = F_1 - C = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (1, -\sqrt{3}, 1)$

Найдем длины (модули) этих векторов:

$|\vec{DF}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

$|\vec{CF_1}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{DF}$ и $\vec{CF_1}$:

$\vec{DF} \cdot \vec{CF_1} = (\frac{3}{2})(1) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\sqrt{3}) + (0)(1) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + 0 = 3$

Косинус угла $\alpha$ между двумя прямыми (векторами) $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ (используем абсолютное значение, так как угол между прямыми является острым)

$\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{15}}$

Рационализируем знаменатель:

$\cos \alpha = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

Теперь найдем синус угла $\alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{15}{25} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

Так как $\alpha$ - угол между прямыми, он должен быть в диапазоне $[0, \frac{\pi}{2}]$, поэтому $\sin \alpha \ge 0$.

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{10}}{5}$