Номер 22, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

(Перевод в СИ не требуется, так как единицы измерения не указаны и все длины являются безразмерными величинами или находятся в одной системе единиц).

Найти:

Косинус угла между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим призму в декартовой системе координат.Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.Так как призма правильная, ее основания — правильные шестиугольники, а боковые грани — прямоугольники. Все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a$ и центром в начале координат:

$A = (a, 0, 0)$

$B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0)$

$C = (a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ), 0)$

В нашем случае $a=1$. Тогда:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (1 \cdot (-1/2), 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь z-координату, равную высоте призмы, то есть 1:

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым $BA_1$ и $CB_1$.

Вектор $\vec{BA_1}$ находится как разность координат точки $A_1$ и точки $B$:

$\vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Вектор $\vec{CB_1}$ находится как разность координат точки $B_1$ и точки $C$:

$\vec{CB_1} = B_1 - C = (1/2 - (-1/2), \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1, 0, 1)$

Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{CB_1}$:

$\vec{BA_1} \cdot \vec{CB_1} = (1/2)(1) + (-\sqrt{3}/2)(0) + (1)(1) = 1/2 + 0 + 1 = 3/2$

Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{BA_1}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

$|\vec{CB_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{3/2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$

Ответ:

Косинус угла между прямыми $BA_1$ и $CB_1$ равен $3/4$.