Номер 28, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

28. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $AC_1$ и $BD_1$.

Дано

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AC_1$ и $BD_1$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим центр нижнего основания призмы $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль радиуса, проходящего через вершину $A$. Ось $Oz$ направим вдоль ребра $AA_1$.

Так как призма правильная, а длина всех ребер равна 1, то сторона правильного шестиугольника в основании равна 1, и высота призмы также равна 1. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне, то есть 1.

Координаты вершин нижнего основания: $A = (1, 0, 0)$, $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $D = (-1, 0, 0)$.

Координаты вершин верхнего основания (с $z$-координатой, равной высоте призмы, то есть 1): $A_1 = (1, 0, 1)$, $C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$, $D_1 = (-1, 0, 1)$.

Найдем векторы, направляющие прямые $AC_1$ и $BD_1$.

Вектор $\vec{AC_1} = C_1 - A = (-\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Вектор $\vec{BD_1} = D_1 - B = (-1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Для нахождения косинуса угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ используется формула:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{BD_1}$:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{BD_1} = (-\frac{3}{2}) \cdot (-\frac{3}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (1) \cdot (1)$

$ = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} + 1 = \frac{6}{4} + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} = 2.5$

Вычислим длины (модули) векторов:

$||\vec{AC_1}|| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{\frac{12}{4} + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$||\vec{BD_1}|| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{\frac{12}{4} + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos(\alpha) = \frac{|2.5|}{2 \cdot 2} = \frac{2.5}{4} = \frac{5/2}{4} = \frac{5}{8}$

Ответ:

$\frac{5}{8}$