Номер 1, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите синус угла между прямой $BD_1$ и плоскостью $ABC$.

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Прямая $BD_1$.
Плоскость $ABC$.

Перевод в СИ

Это геометрическая задача, физические величины и единицы СИ не требуются. Пусть длина ребра куба будет $a$.

Найти

$\sin(\text{угол между } BD_1 \text{ и плоскостью } ABC)$.

Решение

1. Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

2. Прямая $BD_1$ проходит через точку $B$, которая лежит в плоскости $ABC$.

3. Чтобы найти проекцию прямой $BD_1$ на плоскость $ABC$, необходимо спроецировать точку $D_1$ на эту плоскость.

4. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - куб, ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, точка $D$ является ортогональной проекцией точки $D_1$ на плоскость $ABC$.

5. Таким образом, проекция прямой $BD_1$ на плоскость $ABC$ есть прямая $BD$.

6. Искомый угол - это угол $\angle D_1BD$.

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник $D_1DB$. Угол при вершине $D$ равен $90^\circ$, так как $DD_1 \perp BD$ (поскольку $DD_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через $D$).

8. Пусть длина ребра куба равна $a$. Длина катета $D_1D = a$. Длина катета $BD$ - это диагональ квадрата $ABCD$. По теореме Пифагора в треугольнике $ABD$: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Длина гипотенузы $BD_1$ (диагональ куба). По теореме Пифагора в треугольнике $D_1DB$: $BD_1 = \sqrt{D_1D^2 + BD^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

9. Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

$\sin(\angle D_1BD) = \frac{D_1D}{BD_1}$

$\sin(\angle D_1BD) = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

10. Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\sin(\angle D_1BD) = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

Синус угла между прямой $BD_1$ и плоскостью $ABC$ равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$.