Номер 7, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите синус угла между прямой $CC_1$ и плоскостью $AB_1 D_1$.

Дано: куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: синус угла между прямой $CC_1$ и плоскостью $AB_1D_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин куба будут:

$A = (0,0,0)$

$B = (a,0,0)$

$C = (a,a,0)$

$D = (0,a,0)$

$A_1 = (0,0,a)$

$B_1 = (a,0,a)$

$C_1 = (a,a,a)$

$D_1 = (0,a,a)$

Найдем направляющий вектор прямой $CC_1$. В качестве такого вектора можно взять вектор $\vec{CC_1}$:

$\vec{v} = \vec{CC_1} = (C_1_x - C_x, C_1_y - C_y, C_1_z - C_z) = (a-a, a-a, a-0) = (0,0,a)$.

Длина этого вектора: $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{a^2} = a$.

Далее найдем нормальный вектор к плоскости $AB_1D_1$. Точки, принадлежащие этой плоскости, это $A(0,0,0)$, $B_1(a,0,a)$ и $D_1(0,a,a)$.

Построим два вектора, лежащих в этой плоскости, исходящих из точки $A$:

$\vec{AB_1} = (B_{1x} - A_x, B_{1y} - A_y, B_{1z} - A_z) = (a-0, 0-0, a-0) = (a,0,a)$.

$\vec{AD_1} = (D_{1x} - A_x, D_{1y} - A_y, D_{1z} - A_z) = (0-0, a-0, a-0) = (0,a,a)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $AB_1D_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB_1} \times \vec{AD_1}$:

$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & a \\ 0 & a & a \end{vmatrix}$

$= \vec{i}(0 \cdot a - a \cdot a) - \vec{j}(a \cdot a - a \cdot 0) + \vec{k}(a \cdot a - 0 \cdot 0)$

$= -a^2\vec{i} - a^2\vec{j} + a^2\vec{k} = (-a^2, -a^2, a^2)$.

Для упрощения расчетов можно использовать нормальный вектор $\vec{n}'$, пропорциональный $\vec{n}$. Разделим все компоненты $\vec{n}$ на $-a^2$:

$\vec{n}' = (1,1,-1)$.

Длина этого нормального вектора: $|\vec{n}'| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Синус угла $\alpha$ между прямой с направляющим вектором $\vec{v}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}'$ определяется формулой:

$\sin \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}'|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}'|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{v}$ и $\vec{n}'$:

$\vec{v} \cdot \vec{n}' = (0)(1) + (0)(1) + (a)(-1) = 0 + 0 - a = -a$.

Модуль скалярного произведения: $|\vec{v} \cdot \vec{n}'| = |-a| = a$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для синуса угла:

$\sin \alpha = \frac{a}{a \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\sin \alpha = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.