Номер 10, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите синус угла между прямой $BA_1$ и плоскостью $AB_1 D_1$.

Дано:

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Пусть длина ребра куба равна $a$.

Найти:

Синус угла между прямой $BA_1$ и плоскостью $AB_1D_1$.

Решение:

1. Введем систему координат с началом в точке $A$. Ось $x$ направим вдоль $AB$, ось $y$ вдоль $AD$, ось $z$ вдоль $AA_1$.
Координаты вершин куба будут следующими:
$A=(0,0,0)$
$B=(a,0,0)$
$D=(0,a,0)$
$A_1=(0,0,a)$
$B_1=(a,0,a)$
$D_1=(0,a,a)$

2. Найдем направляющий вектор прямой $BA_1$.
Вектор $\vec{v} = \vec{A_1} - \vec{B} = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)$.
Для упрощения расчетов можно взять коллинеарный вектор $\vec{v'} = \frac{1}{a}\vec{v} = (-1, 0, 1)$.

3. Найдем нормальный вектор плоскости $AB_1D_1$.
Плоскость $AB_1D_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$, $B_1(a,0,a)$ и $D_1(0,a,a)$.
Образуем два вектора, лежащих в этой плоскости:
$\vec{AB_1} = (a, 0, a)$
$\vec{AD_1} = (0, a, a)$
Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости перпендикулярен этим двум векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:
$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AD_1}$
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & a \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot a - a \cdot a) - \vec{j}(a \cdot a - a \cdot 0) + \vec{k}(a \cdot a - 0 \cdot 0)$
$\vec{n} = -a^2 \vec{i} - a^2 \vec{j} + a^2 \vec{k} = (-a^2, -a^2, a^2)$.
Для упрощения расчетов можно взять коллинеарный вектор $\vec{n'} = -\frac{1}{a^2}\vec{n} = (1, 1, -1)$. (Или $(-1,-1,1)$ как в черновике, результат будет тот же, так как важен знак скалярного произведения, который берется по модулю). Давайте придерживаться $(-1,-1,1)$ как в черновике, чтобы избежать лишних изменений, это просто вектор нормали, его направление не меняет результат синуса.
Итак, $\vec{n'} = (-1, -1, 1)$.

4. Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью находится по формуле:
$\sin \alpha = \frac{|\vec{n'} \cdot \vec{v'}|}{||\vec{n'}|| \cdot ||\vec{v'}||}$
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{n'}$ и $\vec{v'}$:
$\vec{n'} \cdot \vec{v'} = (-1)(-1) + (-1)(0) + (1)(1) = 1 + 0 + 1 = 2$.
Вычислим модули векторов:
$||\vec{n'}|| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.
$||\vec{v'}|| = \sqrt{(-1)^2 + (0)^2 + (1)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.
Теперь подставим значения в формулу для $\sin \alpha$:
$\sin \alpha = \frac{|2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
Рационализируем знаменатель:
$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ:
$\frac{\sqrt{6}}{3}$