Номер 15, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите синус угла между прямой $C_1D_1$ и плоскостью $ACB_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Прямая $C_1D_1$.

Плоскость $ACB_1$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в безразмерном виде или в относительных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Синус угла между прямой $C_1D_1$ и плоскостью $ACB_1$.

Решение:

Обозначим длину ребра куба за $a$. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$, ось $Oz$ вдоль $AA_1$.

Координаты необходимых вершин:

$A(0,0,0)$

$C(a,a,0)$

$B_1(a,0,a)$

$C_1(a,a,a)$

$D_1(0,a,a)$

Найдем направляющий вектор прямой $C_1D_1$. Вектор $\vec{C_1D_1}$ имеет координаты $D_1 - C_1 = (0-a, a-a, a-a) = (-a,0,0)$. В качестве направляющего вектора $\vec{v}$ прямой $C_1D_1$ можно взять вектор $(1,0,0)$ (или $(-1,0,0)$, что не повлияет на результат, так как в формуле используется модуль скалярного произведения).

Для нахождения вектора нормали к плоскости $ACB_1$ используем два вектора, лежащих в этой плоскости, например $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$.

$\vec{AC} = C - A = (a,a,0) - (0,0,0) = (a,a,0)$.

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (a,0,a) - (0,0,0) = (a,0,a)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ACB_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AB_1}$:

$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot 0 - a \cdot a) = (a^2, -a^2, -a^2)$.

В качестве вектора нормали $\vec{n}$ можно взять более простой вектор $(1,-1,-1)$, разделив все компоненты на $a^2$ (поскольку $a \ne 0$).

Синус угла $\phi$ между прямой, имеющей направляющий вектор $\vec{v}$, и плоскостью, имеющей вектор нормали $\vec{n}$, вычисляется по формуле:

$\sin\phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (1,0,0) \cdot (1,-1,-1) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) = 1$.

Вычислим длины векторов $||\vec{v}||$ и $||\vec{n}||$:

$||\vec{v}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

$||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла:

$\sin\phi = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Рационализируем знаменатель:

$\sin\phi = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$