Номер 21, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21. В правильном тетраэдре ABCD точка E — середина ребра CD. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью ABC.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.

Точка $E$ — середина ребра $CD$.

Найти:

Синус угла между прямой $AE$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Пусть длина ребра правильного тетраэдра $ABCD$ равна $a$. Так как тетраэдр правильный, все его грани являются равносторонними треугольниками, а все ребра имеют одинаковую длину $a$.

1. Нахождение длины отрезка $AE$: Рассмотрим грань $ACD$. Она представляет собой равносторонний треугольник со стороной $a$. Точка $E$ является серединой ребра $CD$. Следовательно, отрезок $AE$ является медианой в равностороннем треугольнике $ACD$. Длина медианы $m$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, длина отрезка $AE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

2. Построение проекции точки $E$ на плоскость $ABC$: Для нахождения угла между прямой и плоскостью необходимо найти проекцию прямой на эту плоскость. Угол между прямой $AE$ и плоскостью $ABC$ — это угол между прямой $AE$ и её проекцией на плоскость $ABC$. Пусть $O$ — центр (центроид) равностороннего треугольника $ABC$. В правильном тетраэдре высота, опущенная из вершины $D$ на плоскость основания $ABC$, проходит через центроид $O$. Это означает, что $DO$ перпендикулярна плоскости $ABC$ ($DO \perp ABC$). Высота правильного тетраэдра $DO$ равна $H = a\sqrt{\frac{2}{3}}$. Точка $C$ лежит в плоскости $ABC$, поэтому её проекция на плоскость $ABC$ совпадает с самой точкой $C$. Точка $E$ является серединой отрезка $CD$. Пусть $E'$ — проекция точки $E$ на плоскость $ABC$. По свойству проекции середины отрезка, $E'$ является серединой отрезка, соединяющего проекции концов исходного отрезка. Следовательно, $E'$ является серединой отрезка $CO$ (проекции отрезка $CD$ на плоскость $ABC$).

3. Нахождение длины отрезка $EE'$ (расстояние от $E$ до плоскости $ABC$): Рассмотрим треугольник $DCO$. $E$ — середина $CD$, $E'$ — середина $CO$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $EE'$ является средней линией треугольника $DCO$, параллельной $DO$. Следовательно, длина отрезка $EE'$ равна половине длины $DO$: $EE' = \frac{1}{2} DO = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$. Для упрощения умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $EE' = \frac{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{2 \cdot 3} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$.

4. Нахождение синуса угла между прямой $AE$ и плоскостью $ABC$: Угол между прямой $AE$ и плоскостью $ABC$ — это угол $\angle EAE'$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $EE'A$. Угол $EE'A$ равен $90^\circ$, так как $EE'$ перпендикулярна плоскости $ABC$, а $AE'$ лежит в этой плоскости. Синус угла $\angle EAE'$ равен отношению длины противолежащего катета $EE'$ к длине гипотенузы $AE$: $\sin(\angle EAE') = \frac{EE'}{AE}$. Подставим найденные значения: $\sin(\angle EAE') = \frac{\frac{a\sqrt{6}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}$. $\sin(\angle EAE') = \frac{a\sqrt{6}}{6} \cdot \frac{2}{a\sqrt{3}}$. Сократим $a$: $\sin(\angle EAE') = \frac{2\sqrt{6}}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}$. Упростим выражение, разложив $\sqrt{6}$ как $\sqrt{2}\sqrt{3}$: $\sin(\angle EAE') = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$. Сократим $\sqrt{3}$: $\sin(\angle EAE') = \frac{\sqrt{2}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{2}}{3}$