Номер 14, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите синус угла между прямой $A_1 D$ и плоскостью $ACB_1$.

15. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D$

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Синус угла между прямой $A_1D_1$ и плоскостью $ACB_1$.

Решение:

Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Координаты вершин куба: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, $D_1(0,a,a)$.

1. Найдем направляющий вектор прямой $A_1D_1$.

Прямая $A_1D_1$ проходит через точки $A_1(0,0,a)$ и $D_1(0,a,a)$.

Направляющий вектор $\vec{v} = \vec{D_1} - \vec{A_1} = (0-0, a-0, a-a) = (0,a,0)$.

Для удобства можно взять $\vec{v} = (0,1,0)$.

2. Найдем нормальный вектор плоскости $ACB_1$.

Плоскость $ACB_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$, $C(a,a,0)$, $B_1(a,0,a)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{AC} = C - A = (a,a,0) - (0,0,0) = (a,a,0)$.

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (a,0,a) - (0,0,0) = (a,0,a)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости можно найти как векторное произведение $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$:

$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot 0 - a \cdot a)$

$\vec{n} = (a^2, -a^2, -a^2)$.

Для удобства можно взять $\vec{n} = (1,-1,-1)$.

3. Вычислим синус угла между прямой и плоскостью.

Синус угла $\phi$ между прямой с направляющим вектором $\vec{v}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$ определяется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0,1,0) \cdot (1,-1,-1) = 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) = -1$.

Тогда $|\vec{v} \cdot \vec{n}| = |-1| = 1$.

Вычислим длины векторов:

$||\vec{v}|| = ||(0,1,0)|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

$||\vec{n}|| = ||(1,-1,-1)|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Подставим значения в формулу для синуса угла:

$\sin \phi = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Рационализируем знаменатель:

$\sin \phi = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.