Номер 12, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите синус угла между прямой $BD_1$ и плоскостью $AB_1D_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

$\sin(\angle (BD_1, \text{плоскость } AB_1D_1))$

Решение:

Пусть длина ребра куба равна $a$.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$.

Координаты вершин:

$A = (0,0,0)$

$B = (a,0,0)$

$D = (0,a,0)$

$A_1 = (0,0,a)$

$B_1 = (a,0,a)$

$C_1 = (a,a,a)$

$D_1 = (0,a,a)$

1. Найдем вектор прямой $BD_1$:

Вектор $\vec{BD_1} = D_1 - B = (0-a, a-0, a-0) = (-a, a, a)$.

Длина вектора $BD_1$: $||\vec{BD_1}|| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

2. Найдем нормальный вектор к плоскости $AB_1D_1$:

Точки, лежащие в плоскости: $A(0,0,0)$, $B_1(a,0,a)$, $D_1(0,a,a)$.

Образуем два вектора в этой плоскости, исходящие из общей точки:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (a,0,a)$.

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (0,a,a)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $AB_1D_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB_1} \times \vec{AD_1}$:

$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & a \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot a - a \cdot a) - \vec{j}(a \cdot a - a \cdot 0) + \vec{k}(a \cdot a - 0 \cdot 0) = (-a^2, -a^2, a^2)$.

Для удобства можно взять более простой нормальный вектор, пропорциональный ему, например, $\vec{n'} = (1, 1, -1)$ (разделив на $-a^2$).

Длина нормального вектора: $||\vec{n'}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

3. Вычислим синус угла:

Синус угла $\alpha$ между прямой, заданной направляющим вектором $\vec{v}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n'}$, определяется формулой:

$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n'}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n'}||}$.

В нашем случае $\vec{v} = \vec{BD_1} = (-a, a, a)$ и $\vec{n'} = (1, 1, -1)$.

Скалярное произведение: $\vec{v} \cdot \vec{n'} = (-a)(1) + (a)(1) + (a)(-1) = -a + a - a = -a$.

Тогда $|\vec{v} \cdot \vec{n'}| = |-a| = a$.

$\sin(\alpha) = \frac{a}{(a\sqrt{3})(\sqrt{3})} = \frac{a}{3a} = \frac{1}{3}$.

Ответ:

$\frac{1}{3}$