Номер 16, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите синус угла между прямой $BA_1$ и плоскостью $ACB_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Синус угла между прямой $BA_1$ и плоскостью $ACB_1$.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ куба находится в начале координат $(0,0,0)$. Ребро куба обозначим $a$. Тогда координаты необходимых вершин будут следующими:

$A = (0,0,0)$

$B = (a,0,0)$

$C = (a,a,0)$

$A_1 = (0,0,a)$

$B_1 = (a,0,a)$

Найдем направляющий вектор прямой $BA_1$. Вектор $\vec{BA_1}$ задается как разность координат конечной и начальной точек:

$\vec{BA_1} = A_1 - B = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)$.

Обозначим этот вектор как $\vec{l} = (-a, 0, a)$.

Теперь найдем нормальный вектор плоскости $ACB_1$. Для этого нам нужны два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости. Выберем векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$:

$\vec{AC} = C - A = (a-0, a-0, 0-0) = (a,a,0)$.

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (a-0, 0-0, a-0) = (a,0,a)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости перпендикулярен любым векторам, лежащим в этой плоскости. Его можно найти как векторное произведение $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$:

$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ a & 0 & a \end{vmatrix}$

$\vec{n} = (a \cdot a - 0 \cdot 0)\mathbf{i} - (a \cdot a - 0 \cdot a)\mathbf{j} + (a \cdot 0 - a \cdot a)\mathbf{k}$

$\vec{n} = (a^2)\mathbf{i} - (a^2)\mathbf{j} + (-a^2)\mathbf{k}$

Таким образом, нормальный вектор $\vec{n} = (a^2, -a^2, -a^2)$. Мы можем упростить этот вектор, разделив все компоненты на $a^2$ (поскольку для направления важны только пропорции), получим $\vec{n} = (1, -1, -1)$.

Синус угла $\phi$ между прямой (с направляющим вектором $\vec{l}$) и плоскостью (с нормальным вектором $\vec{n}$) вычисляется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n}$:

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (-a)(1) + (0)(-1) + (a)(-1) = -a + 0 - a = -2a$.

Вычислим модули векторов $||\vec{l}||$ и $||\vec{n}||$:

$||\vec{l}|| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

$||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для синуса угла:

$\sin \phi = \frac{|-2a|}{(a\sqrt{2})(\sqrt{3})} = \frac{2a}{a\sqrt{6}}$.

Сократим $a$ (поскольку $a \ne 0$):

$\sin \phi = \frac{2}{\sqrt{6}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$\sin \phi = \frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{6}}{3}$