Номер 23, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

костью ABC.

23. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой $BA_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Найти:

Синус угла между прямой $BA_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение:

Пусть $\phi$ – искомый угол между прямой $BA_1$ и плоскостью $BCC_1$.

По определению, синус угла между прямой и плоскостью равен синусу угла между этой прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость. Точка $B$ принадлежит плоскости $BCC_1$. Найдем ортогональную проекцию точки $A_1$ на плоскость $BCC_1$.

Рассмотрим верхнее основание призмы $A_1B_1C_1$. Это равносторонний треугольник со стороной, равной 1. Пусть $M_1$ – середина ребра $B_1C_1$. Тогда отрезок $A_1M_1$ является высотой треугольника $A_1B_1C_1$, проведенной к стороне $B_1C_1$. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = a\frac{\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $A_1M_1 = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как призма правильная, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. Поскольку отрезок $A_1M_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1$, то $BB_1 \perp A_1M_1$.

Таким образом, прямая $A_1M_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $B_1C_1$ и $BB_1$, которые лежат в плоскости $BCC_1$. Это означает, что прямая $A_1M_1$ перпендикулярна всей плоскости $BCC_1$.

Следовательно, точка $M_1$ является ортогональной проекцией точки $A_1$ на плоскость $BCC_1$. Прямая $BM_1$ является ортогональной проекцией прямой $BA_1$ на плоскость $BCC_1$. Искомый угол $\phi$ – это угол $\angle A_1BM_1$.

Треугольник $A_1M_1B$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M_1$, так как $A_1M_1$ перпендикулярна плоскости $BCC_1$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через $M_1$, в частности, прямой $BM_1$.

В прямоугольном треугольнике $A_1M_1B$ нам известна длина катета $A_1M_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем длину гипотенузы $BA_1$.

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $ABA_1$. Этот треугольник является прямоугольным, так как ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, а значит, $AA_1 \perp AB$. Длины ребер призмы $AB=1$ и $AA_1=1$. По теореме Пифагора для $\triangle ABA_1$:

$BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Теперь мы можем найти синус угла $\phi$ в прямоугольном треугольнике $A_1M_1B$:

$\sin \phi = \frac{\text{противолежащий катет}}{ \text{гипотенуза}} = \frac{A_1M_1}{BA_1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}$

$\sin \phi = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$