Номер 29, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

29. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, найдите косинус угла между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длина всех ребер пирамиды равна 1.

В системе СИ:

Длина ребра основания $a = 1$ м.

Длина бокового ребра $l = 1$ м.

Найти:

Косинус угла между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$.

Решение:

1. Введем прямоугольную систему координат. Удобно расположить центр основания пирамиды, точку $O$, в начале координат $(0,0,0)$.

Поскольку $SABCD$ - правильная четырехугольная пирамида, ее основание $ABCD$ является квадратом со стороной, равной 1. Координаты вершин основания можно задать следующим образом:

$A = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$

$B = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$

$C = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$

$D = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$

Проверим, что длина ребра $AB$ равна 1: $AB = \sqrt{\left(\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)^2 + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$. Это соответствует условию.

2. Найдем координаты вершины $S$. Вершина $S$ находится на оси $z$, так как пирамида правильная, и ее проекция совпадает с центром основания. Пусть $S = (0,0,h)$.

Так как длина бокового ребра $SB$ также равна 1, используем формулу расстояния между точками $S(0,0,h)$ и $B(1/2, 1/2, 0)$:

$SB^2 = \left(\frac{1}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{1}{2} - 0\right)^2 + (0 - h)^2 = 1^2$

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + h^2 = 1$

$\frac{1}{2} + h^2 = 1$

$h^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$h = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, координаты вершины $S$ равны $\left(0,0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

3. Найдем направляющий вектор прямой $AB$.

$\vec{AB} = B - A = \left(\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right), \frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 0 - 0\right) = (1, 0, 0)$.

4. Найдем нормальный вектор к плоскости $SBC$.

Для определения плоскости $SBC$ возьмем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{SB}$ и $\vec{BC}$.

$\vec{SB} = B - S = \left(\frac{1}{2} - 0, \frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

$\vec{BC} = C - B = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 0 - 0\right) = (0, -1, 0)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $SBC$ можно найти как векторное произведение $\vec{SB} \times \vec{BC}$:

$ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 1/2 & -\sqrt{2}/2 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} $

$ = \mathbf{i}\left(\frac{1}{2} \cdot 0 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (-1)\right) - \mathbf{j}\left(\frac{1}{2} \cdot 0 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot 0\right) + \mathbf{k}\left(\frac{1}{2} \cdot (-1) - \frac{1}{2} \cdot 0\right) $

$ = \mathbf{i}\left(0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}\left(-\frac{1}{2}\right) $

$ = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, -\frac{1}{2}\right) $

Для удобства дальнейших вычислений можно использовать вектор, коллинеарный $\vec{n}$, например, умножив его на $-2$: $\vec{n'} = (\sqrt{2}, 0, 1)$.

5. Найдем синус угла между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$.

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью связан с углом $\theta$ между направляющим вектором прямой $\vec{AB}$ и нормальным вектором плоскости $\vec{n'}$ соотношением $\sin \alpha = |\cos \theta|$, где $\cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{n'}}{|\vec{AB}| |\vec{n'}|}$.

Направляющий вектор прямой: $\vec{AB} = (1, 0, 0)$. Его длина: $|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.

Нормальный вектор плоскости: $\vec{n'} = (\sqrt{2}, 0, 1)$. Его длина: $|\vec{n'}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$.

Скалярное произведение: $\vec{AB} \cdot \vec{n'} = (1)(\sqrt{2}) + (0)(0) + (0)(1) = \sqrt{2}$.

Теперь найдем $\cos \theta$:

$ \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3} $

Тогда $\sin \alpha = |\cos \theta| = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

6. Найдем косинус угла $\alpha$.

Поскольку угол между прямой и плоскостью всегда принимается как острый или прямой ($0 \le \alpha \le \pi/2$), его косинус будет неотрицательным ($\cos \alpha \ge 0$).

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $

$ \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{6}{9} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $

$ \cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Ответ:

Косинус угла между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$ равен $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.