Номер 36, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

36. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой $SA$ и плоскостью $SBC$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

Перевод в СИ:

Длины даны в абстрактных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Синус угла между прямой SA и плоскостью SBC, $\sin(\alpha)$.

Решение:

Обозначим центр основания пирамиды через O. Поскольку пирамида правильная, вершина S проецируется в центр основания O.

В правильном шестиугольнике сторона $a$ равна радиусу описанной окружности, поэтому $OA = a = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$. По теореме Пифагора найдем высоту пирамиды SO:

$SO^2 = SA^2 - OA^2$

$SO^2 = l^2 - a^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$SO = \sqrt{3}$

Для нахождения синуса угла между прямой SA и плоскостью SBC воспользуемся формулой:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{расстояние от точки A до плоскости SBC}}{\text{длина отрезка SA}}$

Длина отрезка SA дана: $SA = l = 2$.

Найдем расстояние от точки A до плоскости SBC. Воспользуемся методом координат.

Пусть центр основания O находится в начале координат $(0,0,0)$. Ось Z направим вдоль SO.

Тогда координаты вершины S: $S(0,0,\sqrt{3})$.

Координаты вершин основания: поскольку $OA=1$ и мы можем положить A на оси X, $A(1,0,0)$.

Координаты B и C (для плоскости SBC):

$B(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Найдем векторы, лежащие в плоскости SBC:

$\vec{SB} = B - S = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$

$\vec{SC} = C - S = (-1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости SBC как векторное произведение $\vec{SB} \times \vec{SC}$:

$\vec{n} = \mathbf{i} \left( \frac{\sqrt{3}}{2}(-\sqrt{3}) - \frac{\sqrt{3}}{2}(-\sqrt{3}) \right) - \mathbf{j} \left( \frac{1}{2}(-\sqrt{3}) - (-\frac{1}{2})(-\sqrt{3}) \right) + \mathbf{k} \left( \frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{1}{2})\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

$\vec{n} = (0, \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Для удобства можно взять нормальный вектор, пропорциональный $\vec{n}$, например, умножив на $2/\sqrt{3}$:

$\vec{n'} = (0, 2, 1)$

Уравнение плоскости SBC имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя $\vec{n'} = (0, 2, 1)$, получаем $0x + 2y + 1z + D = 0$.

Подставим координаты точки S $(0,0,\sqrt{3})$ в уравнение плоскости, чтобы найти D:

$2(0) + 1(\sqrt{3}) + D = 0 \Rightarrow D = -\sqrt{3}$

Уравнение плоскости SBC: $2y + z - \sqrt{3} = 0$.

Найдем расстояние от точки A $(1,0,0)$ до плоскости $2y + z - \sqrt{3} = 0$ по формуле $dist = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$:

$dist(A, \text{SBC}) = \frac{|0(1) + 2(0) + 1(0) - \sqrt{3}|}{\sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{4+1}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

Теперь вычислим синус угла $\alpha$:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{расстояние от A до плоскости SBC}}{SA} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{5}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{10}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{15}}{10}$