Номер 38, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

38. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой $BA_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер $a = 1$.

В системе СИ:

Длина всех ребер $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Синус угла между прямой $BA_1$ и плоскостью $BCC_1$, то есть $\sin(\alpha)$.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль радиуса $OA$, ось $Oy$ перпендикулярно $AD$ в плоскости основания, ось $Oz$ вдоль ребра $OO_1$ (высоты призмы).

Поскольку призма правильная и все её ребра равны 1, то длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания правильного шестиугольника со стороной 1, расположенного в плоскости $z=0$ с центром в $(0,0,0)$: Вершина $A$ лежит на оси $Ox$, поэтому ее координаты $A(1,0,0)$. Вершина $B$ образует угол $60^\circ$ с осью $Ox$. Ее координаты: $B(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Вершина $C$ образует угол $120^\circ$ с осью $Ox$. Ее координаты: $C(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вершины верхнего основания $A_1, B_1, C_1$ имеют ту же $x$ и $y$ координаты, но $z$-координата равна высоте призмы, то есть 1. $A_1(1,0,1)$. $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем вектор, представляющий прямую $BA_1$: $\vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Длина (модуль) вектора $\vec{BA_1}$: $|\vec{BA_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь определим уравнение плоскости $BCC_1$. Плоскость $BCC_1$ содержит точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Заметим, что для всех этих точек $y$-координата равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это означает, что плоскость $BCC_1$ параллельна оси $Ox$ и оси $Oz$, и ее уравнение имеет вид $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$. В общем виде уравнение плоскости $Ax+By+Cz+D=0$. В нашем случае это $0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

Нормальный вектор к плоскости $BCC_1$ (вектор, перпендикулярный плоскости) будет $\vec{n} = (0, 1, 0)$.

Длина (модуль) нормального вектора: $|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Синус угла $\alpha$ между прямой, заданной вектором $\vec{l}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$, вычисляется по формуле: $\sin \alpha = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| \cdot |\vec{n}|}$. В нашем случае $\vec{l} = \vec{BA_1} = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ и $\vec{n} = (0, 1, 0)$.

Скалярное произведение $\vec{BA_1} \cdot \vec{n}$: $\vec{BA_1} \cdot \vec{n} = (\frac{1}{2})(0) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) + (1)(0) = 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значения в формулу для синуса угла: $\sin \alpha = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$