Номер 41, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

41. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой $AB$ и плоскостью $BCE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1.

В данном случае, перевод в систему СИ не требуется, так как задача является геометрической, и длины даны в относительных единицах, которые сократятся в итоговом отношении.

Найти:

Синус угла между прямой $AB$ и плоскостью $BCE_1$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Так как призма правильная, и все ее ребра равны 1, то сторона основания шестиугольника $a = 1$, и высота призмы $h = 1$. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне, то есть $R=a=1$.

Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ (если $A$ лежит на оси $Ox$): $A = (1, 0, 0)$, $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты соответствующей вершины верхнего основания $E_1$ (сдвинуты по оси $Oz$ на высоту $h=1$): $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем направляющий вектор прямой $AB$.

$\vec{AB} = B - A = (\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Длина вектора $\vec{AB}$:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости $BCE_1$. Для этого возьмем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{BC}$ и $\vec{BE_1}$, и найдем их векторное произведение.

$\vec{BC} = C - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$

$\vec{BE_1} = E_1 - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BE_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3})) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot (-1))$

$\vec{n} = (0, 1, \sqrt{3})$

Длина нормального вектора $\vec{n}$:

$|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

Синус угла $\alpha$ между прямой с направляющим вектором $\vec{l}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$ вычисляется по формуле:

$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| \cdot |\vec{n}|}$

Здесь $\vec{l} = \vec{AB} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $\vec{n} = (0, 1, \sqrt{3})$.

Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{n}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{n} = (-\frac{1}{2})(0) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(1) + (0)(\sqrt{3}) = 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем значения в формулу для синуса угла:

$\sin(\alpha) = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{1 \cdot 2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Ответ:

Синус угла между прямой $AB$ и плоскостью $BCE_1$ равен $\frac{\sqrt{3}}{4}$.