Номер 39, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

39. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой $AF_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1.

Перевод в СИ:

Длина ребра основания $a = 1$.

Высота призмы $h = 1$.

Найти:

Синус угла между прямой $AF_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат.

Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная шестиугольная, и длина всех ребер равна 1, то длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$. Радиус описанной окружности вокруг основания правильного шестиугольника равен его стороне, то есть 1.

Координаты вершин нижнего основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F = (1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Высота призмы равна 1, поэтому z-координаты вершин верхнего основания на 1 больше, чем у соответствующих вершин нижнего основания:

$F_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

1. Найдем вектор, направляющий прямую $AF_1$:

$\vec{AF_1} = F_1 - A = (\frac{1}{2} - 1, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Длина вектора $\vec{AF_1}$ (модуль направляющего вектора):

$||\vec{AF_1}|| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

2. Найдем нормальный вектор к плоскости $BCC_1$.

Точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ принадлежат нижнему основанию. Так как призма правильная, и грань $BCC_1B_1$ является боковой гранью, она параллельна оси Z и содержит отрезок $BC$. Заметим, что y-координаты точек $B$ и $C$ равны $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как это вертикальная грань, все точки плоскости $BCC_1$ будут иметь y-координату $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, уравнение плоскости $BCC_1$ имеет вид $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Нормальный вектор к плоскости $y = k$ равен $\vec{n} = (0, 1, 0)$.

Длина нормального вектора $||\vec{n}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

3. Вычислим синус угла $\alpha$ между прямой $AF_1$ (с направляющим вектором $\vec{v} = \vec{AF_1}$) и плоскостью $BCC_1$ (с нормальным вектором $\vec{n}$).

Формула для синуса угла между прямой и плоскостью:

$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:

$\vec{AF_1} \cdot \vec{n} = (-\frac{1}{2})(0) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) + (1)(0) = 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим значения в формулу:

$\sin(\alpha) = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{6}}{4}$