Номер 40, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

40. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой $B_1E$ и плоскостью $BCC_1$.

41. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер равна 1.

Перевод в СИ:

Длина стороны основания $a = 1$.

Высота призмы $h = 1$.

Найти:

Синус угла между прямой $B_1E$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.

Так как призма правильная и все ее ребра равны 1, то длина стороны правильного шестиугольника в основании равна $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Расположим вершины основания следующим образом: ось $y$ проходит через точки $B$ и $E$.

Координаты вершин нижнего основания:

• $B = (0, 1, 0)$
• $C = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
• $E = (0, -1, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания (с $z$-координатой равной высоте $h=1$):

• $B_1 = (0, 1, 1)$
• $C_1 = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 1)$

Найдем вектор направления прямой $B_1E$:

$\vec{B_1E} = E - B_1 = (0-0, -1-1, 0-1) = (0, -2, -1)$.

Длина вектора $\vec{B_1E}$: $|\vec{B_1E}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 4 + 1} = \sqrt{5}$.

Для определения плоскости $BCC_1$ используем векторы $\vec{BB_1}$ и $\vec{BC}$.

$\vec{BB_1} = B_1 - B = (0-0, 1-1, 1-0) = (0, 0, 1)$.

$\vec{BC} = C - B = (\frac{\sqrt{3}}{2}-0, \frac{1}{2}-1, 0-0) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BCC_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{BC} \times \vec{BB_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 - (-\frac{1}{2}) \cdot 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Длина нормального вектора $|\vec{n}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Синус угла $\alpha$ между прямой и плоскостью вычисляется по формуле: $\sin \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$, где $\vec{v}$ - направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ - нормальный вектор плоскости.

Скалярное произведение $\vec{B_1E} \cdot \vec{n}$:

$\vec{B_1E} \cdot \vec{n} = (0)(-\frac{1}{2}) + (-2)(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-1)(0) = 0 + \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$.

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла:

$\sin \alpha = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{5} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$.

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{15}}{5}$