Номер 44, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

44. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой $B_1E$ и плоскостью $BCE_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длины всех рёбер равны $1$.

Перевод всех данных в систему СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, что является стандартным для геометрических задач. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти

Синус угла между прямой $B_1E$ и плоскостью $BCE_1$, обозначим этот угол как $\alpha$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим центр нижнего основания $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль $OA$. Поскольку призма правильная шестиугольная и длина ребра основания $a=1$, координаты вершин основания $ABCDEF$ будут:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Поскольку все рёбра призмы равны $1$, высота призмы также равна $1$. Следовательно, координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь $z$-координату, равную $1$. Для нашей задачи необходимы следующие точки:

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

1. Находим направляющий вектор прямой $B_1E$:

Вектор $\vec{v} = \vec{EB_1}$ является направляющим вектором прямой $B_1E$.

$\vec{v} = B_1 - E = (1/2 - (-1/2), \sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (1, \sqrt{3}, 1)$.

Длина вектора $\vec{v}$ (длина отрезка $B_1E$):

$|\vec{v}| = |\vec{B_1E}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$.

2. Находим нормальный вектор плоскости $BCE_1$:

Для определения плоскости $BCE_1$ используем три точки: $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{BC} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

$\vec{BE_1} = E_1 - B = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BCE_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{BC} \times \vec{BE_1}$:

$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BE_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3})) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot (-1))$

$\vec{n} = (0, 1, \sqrt{3})$.

Длина нормального вектора $\vec{n}$:

$|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

3. Вычисляем синус угла между прямой и плоскостью:

Синус угла $\alpha$ между прямой (с направляющим вектором $\vec{v}$) и плоскостью (с нормальным вектором $\vec{n}$) вычисляется по формуле:

$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$

Сначала найдем скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (1)(\text{0}) + (\sqrt{3})(1) + (1)(\sqrt{3}) = 0 + \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла:

$\sin(\alpha) = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{5} \cdot 2} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$.

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{15}}{5}$