Номер 42, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

42. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой $BC_1$ и плоскостью $BCE_1$.

Призма: правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длины всех ребер: $a = 1$.

Значения уже даны в безразмерных единицах, соответствующих друг другу, перевод в систему СИ не требуется.

Синус угла между прямой $BC_1$ и плоскостью $BCE_1$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Поскольку призма правильная, и все ее ребра равны 1, длина стороны шестиугольника $AB=BC=...=1$, а высота призмы $AA_1=BB_1=...=1$.

Координаты вершин шестиугольника со стороной $a=1$, расположенного в плоскости $z=0$ (нижнее основание), если одна из вершин (например, A) лежит на оси X, будут:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (-1, 0, 0)$
• $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь $z$-координату, равную высоте призмы, то есть 1:

• $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
• $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
• $E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем направляющий вектор прямой $BC_1$:

$\vec{BC_1} = C_1 - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$.

Найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в плоскости $BCE_1$. Для этого используем точки $B$, $C$ и $E_1$:

• $\vec{BC} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.
• $\vec{BE_1} = E_1 - B = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BCE_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{BC} \times \vec{BE_1}$:

$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BE_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3})) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot (-1))$

$\vec{n} = 0\mathbf{i} - (-1)\mathbf{j} + (\sqrt{3})\mathbf{k} = (0, 1, \sqrt{3})$.

Синус угла $\phi$ между прямой $BC_1$ и плоскостью $BCE_1$ равен абсолютному значению косинуса угла $\theta$ между направляющим вектором прямой $\vec{BC_1}$ и нормальным вектором плоскости $\vec{n}$. Формула для синуса угла между прямой и плоскостью: $\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{BC_1} \cdot \vec{n}$:

$\vec{BC_1} \cdot \vec{n} = (-1)(0) + (0)(1) + (1)(\sqrt{3}) = 0 + 0 + \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Вычислим длины векторов $||\vec{BC_1}||$ и $||\vec{n}||$:

$||\vec{BC_1}|| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

$||\vec{n}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для синуса угла:

$\sin \phi = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\sin \phi = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Синус угла между прямой $BC_1$ и плоскостью $BCE_1$ равен $\frac{\sqrt{6}}{4}$.