Номер 35, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

35. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямой $BF$ и плоскостью $SBC$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$. Длина стороны основания $a = AB = 1$. Длина бокового ребра $l = SA = 2$.

Перевод в СИ:

Все данные уже в безразмерных единицах, можно считать метрами: $a = 1 \, \text{м}$ $l = 2 \, \text{м}$

Найти:

Косинус угла между прямой $BF$ и плоскостью $SBC$.

Решение:

1.Установим систему координат. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ находится на оси $Oz$. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности. Таким образом, $OA = OB = OC = OD = OE = OF = a = 1$. Расположим вершины основания: $A = (1, 0, 0)$ $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ $D = (-1, 0, 0)$ $E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ $F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

2.Найдем высоту пирамиды. В прямоугольном треугольнике $SOA$ (где $O$ - центр основания, $S$ - вершина пирамиды, $A$ - вершина основания) гипотенуза $SA = l = 2$, катет $OA = a = 1$. По теореме Пифагора $SO^2 + OA^2 = SA^2$: $h^2 + 1^2 = 2^2$ $h^2 + 1 = 4$ $h^2 = 3$ $h = \sqrt{3}$. Таким образом, координаты вершины $S = (0,0,\sqrt{3})$.

3.Найдем вектор направления прямой $BF$. Направляющий вектор прямой $BF$ равен $\vec{v} = \vec{BF} = F - B = (1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$. Длина вектора $|\vec{v}| = |\vec{BF}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3}$.

4.Найдем нормальный вектор к плоскости $SBC$. Используем точки $S(0,0,\sqrt{3})$, $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Векторы, лежащие в плоскости $SBC$: $\vec{SB} = B - S = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$ $\vec{SC} = C - S = (-1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$ Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $SBC$ находится как векторное произведение $\vec{SB} \times \vec{SC}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \end{vmatrix}$ $\vec{n} = \mathbf{i} \left( (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})(\sqrt{3}/2) \right) - \mathbf{j} \left( (1/2)(-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})(-1/2) \right) + \mathbf{k} \left( (1/2)(\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2)(-1/2) \right)$ $\vec{n} = \mathbf{i} \left( -3/2 + 3/2 \right) - \mathbf{j} \left( -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2 \right) + \mathbf{k} \left( \sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4 \right)$ $\vec{n} = (0, \sqrt{3}, \sqrt{3}/2)$. Для удобства вычислений, умножим нормальный вектор на 2: $\vec{n'} = (0, 2\sqrt{3}, \sqrt{3})$. Длина вектора $|\vec{n'}| = \sqrt{0^2 + (2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 12 + 3} = \sqrt{15}$.

5.Найдем синус угла между прямой $BF$ и плоскостью $SBC$. Угол $\alpha$ между прямой с направляющим вектором $\vec{v}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$ определяется формулой: $\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ Здесь $\vec{v} = \vec{BF} = (0, -\sqrt{3}, 0)$ и $\vec{n} = \vec{n'} = (0, 2\sqrt{3}, \sqrt{3})$. Скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n} = (0)(0) + (-\sqrt{3})(2\sqrt{3}) + (0)(\sqrt{3}) = 0 - 6 + 0 = -6$. $\sin(\alpha) = \frac{|-6|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}} = \frac{6}{\sqrt{45}} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Рационализируем знаменатель: $\sin(\alpha) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

6.Найдем косинус угла $\alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$ $\cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 5}{25} = 1 - \frac{20}{25} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$. Поскольку угол между прямой и плоскостью, по определению, всегда острый (или прямой), $\cos(\alpha)$ должен быть положительным. $\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Рационализируем знаменатель: $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{5}}{5}$