Номер 30, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

30. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой $AC$ и плоскостью $SBC$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длины всех ребер равны 1.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Синус угла между прямой $AC$ и плоскостью $SBC$.

Решение

Введем декартову систему координат. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$.

Так как основание $ABCD$ является квадратом со стороной 1, его вершины можно расположить следующим образом:

$A = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$

$B = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$

$C = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$

$D = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$

Найдем высоту пирамиды $SO$. Боковое ребро $SC=1$. $OC$ — это половина длины диагонали основания $AC$.

Длина диагонали $AC$ квадратного основания со стороной 1: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Тогда $OC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $SOC$ (угол $SOC=90^\circ$, так как $SO$ - высота к центру основания):

$SO^2 + OC^2 = SC^2$

$SO^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1^2$

$SO^2 + \frac{2}{4} = 1$

$SO^2 + \frac{1}{2} = 1$

$SO^2 = \frac{1}{2}$

$SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Координаты вершины $S = (0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Найдем вектор, направляющий прямую $AC$. Вектор $\vec{AC}$ можно найти как разность координат точки C и точки A:

$\vec{v} = \vec{AC} = C - A = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), 0 - 0) = (1, 1, 0)$.

Длина вектора $\vec{AC}$ (длина диагонали): $||\vec{v}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$.

Найдем нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $SBC$. Для этого используем векторы, лежащие в этой плоскости, например, $\vec{SB}$ и $\vec{SC}$.

$\vec{SB} = B - S = (\frac{1}{2} - 0, -\frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

$\vec{SC} = C - S = (\frac{1}{2} - 0, \frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ находится как векторное произведение $\vec{SB} \times \vec{SC}$:

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -1/2 & -\sqrt{2}/2 \\ 1/2 & 1/2 & -\sqrt{2}/2 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i} ((-1/2)(-\sqrt{2}/2) - (1/2)(-\sqrt{2}/2)) - \mathbf{j} ((1/2)(-\sqrt{2}/2) - (1/2)(-\sqrt{2}/2)) + \mathbf{k} ((1/2)(1/2) - (-1/2)(1/2))$

$\vec{n} = \mathbf{i} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) - \mathbf{j} (-\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) + \mathbf{k} (\frac{1}{4} + \frac{1}{4})$

$\vec{n} = (\frac{2\sqrt{2}}{4}, 0, \frac{2}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{1}{2})$.

Длина нормального вектора: $||\vec{n}|| = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 0^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + 0 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Синус угла $\alpha$ между прямой и плоскостью определяется по формуле: $\sin \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$, где $\vec{v}$ - направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ - нормальный вектор плоскости.

Вычислим скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (1)(\frac{\sqrt{2}}{2}) + (1)(0) + (0)(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим все значения в формулу для синуса угла:

$\sin \alpha = \frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$.

Для упрощения выражения и рационализации знаменателя:

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$