Номер 33, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

33. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Длина стороны основания $a=1$.
Длина бокового ребра $l=2$.

Перевод данных в СИ:
Длина стороны основания $a=1$ (единица длины).
Длина бокового ребра $l=2$ (единицы длины).

Найти:

Косинус угла между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$, т.е. $\cos \theta$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим основание пирамиды в плоскости $Oxy$ так, чтобы центр основания $O$ совпадал с началом координат $(0,0,0)$. Вершина $S$ будет находиться на оси $Oz$.

Поскольку пирамида правильная, основание $ABCDEF$ является правильным шестиугольником со стороной $a=1$. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне, то есть $OA = OB = \dots = a = 1$.

Найдем высоту пирамиды $SO$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ ($OA$ - радиус описанной окружности, $SO$ - высота, $SA$ - боковое ребро) по теореме Пифагора:
$SO^2 + OA^2 = SA^2$
$h^2 + a^2 = l^2$
$h^2 + 1^2 = 2^2$
$h^2 = 4 - 1 = 3$
$h = \sqrt{3}$.
Таким образом, координаты вершины $S$ будут $(0, 0, \sqrt{3})$.

Разместим вершины основания в системе координат. Пусть вершина $A$ лежит на положительной части оси $Ox$:
$A = (1, 0, 0)$.
Вершины правильного шестиугольника, расположенные на единичной окружности (с радиусом $a=1$):
$B = (a \cdot \cos(60^\circ), a \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
$C = (a \cdot \cos(120^\circ), a \cdot \sin(120^\circ), 0) = (1 \cdot (-1/2), 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Найдем направляющий вектор $\vec{AB}$ для прямой $AB$:
$\vec{AB} = B - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
Длина вектора $||\vec{AB}|| = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 3/4} = \sqrt{1} = 1$.

Теперь найдем нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $SBC$. Для этого нам нужны два вектора, лежащие в этой плоскости, например, $\vec{SB}$ и $\vec{SC}$.
$\vec{SB} = B - S = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.
$\vec{SC} = C - S = (-1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $SBC$ найдем как векторное произведение $\vec{SB} \times \vec{SC}$:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \end{vmatrix}$
$n_x = (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})(\sqrt{3}/2) = -3/2 - (-3/2) = 0$.
$n_y = -[(1/2)(-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})(-1/2)] = -[-\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2] = -[-\sqrt{3}] = \sqrt{3}$.
$n_z = (1/2)(\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2)(-1/2) = \sqrt{3}/4 - (-\sqrt{3}/4) = \sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4 = \sqrt{3}/2$.
Итак, нормальный вектор $\vec{n} = (0, \sqrt{3}, \sqrt{3}/2)$.
Длина нормального вектора $||\vec{n}|| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{0 + 3 + 3/4} = \sqrt{15/4} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.

Угол $\theta$ между прямой (вектором $\vec{AB}$) и плоскостью ($SBC$) связан с углом $\phi$ между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости формулой $\sin \theta = |\cos \phi|$.
$\cos \phi = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{n}}{||\vec{AB}|| \cdot ||\vec{n}||}$.
Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{n} = (-1/2)(0) + (\sqrt{3}/2)(\sqrt{3}) + (0)(\sqrt{3}/2) = 0 + 3/2 + 0 = 3/2$.
Тогда $\sin \theta = \frac{|3/2|}{1 \cdot \sqrt{15}/2} = \frac{3/2}{\sqrt{15}/2} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

Мы ищем $\cos \theta$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$:
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{15}{25} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
$\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{10}}{5}$