Номер 26, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой $A_1B_1$ и плоскостью $AB_1C_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длины всех ребер равны 1.

Найти:

Синус угла между прямой $A_1B_1$ и плоскостью $AB_1C_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом.

Введем декартову систему координат таким образом, чтобы точка $A$ совпадала с началом координат $(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная, ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками со стороной, равной 1. Высота призмы (длина бокового ребра) также равна 1.

Расположим вершину $B$ на оси $X$. Тогда ее координаты будут $B=(1,0,0)$.

Вершина $C$ будет лежать в плоскости $XY$. Координаты вершины равностороннего треугольника со стороной 1, если две другие вершины $(0,0)$ и $(1,0)$, находятся как $C=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Поскольку $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания и $AA_1=1$, координаты вершин верхнего основания будут получены добавлением 1 к Z-координатам нижнего основания:

• $A = (0,0,0)$

• $B = (1,0,0)$

• $C = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $A_1 = (0,0,1)$

• $B_1 = (1,0,1)$

• $C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем направляющий вектор $\vec{l}$ прямой $A_1B_1$.

$\vec{l} = \vec{A_1B_1} = B_1 - A_1 = (1-0, 0-0, 1-1) = (1,0,0)$.

Длина вектора $\vec{l}$ (его модуль) равна $||\vec{l}|| = \sqrt{1^2+0^2+0^2} = 1$.

Далее найдем нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $AB_1C_1$. Плоскость определяется тремя точками $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Возьмем два вектора, лежащие в этой плоскости, исходящие из точки $A$:

• $\vec{AB_1} = B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$

• $\vec{AC_1} = C_1 - A = (\frac{1}{2}-0, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $AB_1C_1$ равен векторному произведению $\vec{AB_1} \times \vec{AC_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2})$

$\vec{n} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} - (1 - \frac{1}{2})\mathbf{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{k}$

Таким образом, $\vec{n} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Длина нормального вектора $||\vec{n}|| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$

$||\vec{n}|| = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Синус угла $\alpha$ между прямой с направляющим вектором $\vec{l}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$ вычисляется по формуле:

$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Найдем скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n}$:

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (1)(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (0)(-\frac{1}{2}) + (0)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для синуса угла:

$\sin(\alpha) = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{1 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{21}}{7}$