Номер 20, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20. В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $AB$. Найдите косинус угла между прямой $DE$ и плоскостью $ABC$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$. Точка $E$ — середина ребра $AB$.

Перевод в СИ:

Не требуется, так как искомая величина — косинус угла, являющийся безразмерной величиной.

Найти:

$\cos(\angle(DE, \text{плоскость } ABC))$

Решение:

Пусть $a$ — длина ребра правильного тетраэдра $ABCD$.

1.Длина отрезка $DE$:
Поскольку $ABCD$ — правильный тетраэдр, то все его грани являются правильными (равносторонними) треугольниками. Следовательно, треугольник $ABD$ — равносторонний со стороной $a$.
Точка $E$ является серединой ребра $AB$. В равностороннем треугольнике $ABD$ отрезок $DE$ является медианой, проведенной к стороне $AB$.
Длина медианы равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $DE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

2.Проекция вершины $D$ на плоскость $ABC$:
Пусть $H$ — ортогональная проекция вершины $D$ на плоскость $ABC$. В правильном тетраэдре проекция вершины на плоскость противоположной грани совпадает с центром этой грани.
Следовательно, $H$ — это центр (центроид) равностороннего треугольника $ABC$.
Отрезок $DH$ представляет собой высоту тетраэдра. Высота $h$ правильного тетраэдра со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.
Таким образом, $DH = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

3.Определение угла между прямой и плоскостью:
Угол между прямой $DE$ и плоскостью $ABC$ — это угол между прямой $DE$ и ее проекцией на плоскость $ABC$.
Поскольку точка $E$ лежит в плоскости $ABC$, а $H$ является проекцией точки $D$ на плоскость $ABC$, то проекцией отрезка $DE$ на плоскость $ABC$ является отрезок $HE$.
Искомый угол — это $\angle DEH$.
Так как $DH$ перпендикулярен плоскости $ABC$, то треугольник $DHE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$.
В прямоугольном треугольнике $DHE$ синус угла $\phi = \angle DEH$ равен отношению противолежащего катета $DH$ к гипотенузе $DE$:
$\sin \phi = \frac{DH}{DE}$
Подставим найденные значения $DH$ и $DE$:
$\sin \phi = \frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2 \cdot 3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

4.Вычисление косинуса угла:
Мы знаем $\sin \phi$ и хотим найти $\cos \phi$. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \phi + \sin^2 \phi = 1$.
$\cos^2 \phi = 1 - \sin^2 \phi = 1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{(2\sqrt{2})^2}{3^2} = 1 - \frac{4 \cdot 2}{9} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
Поскольку угол между прямой и плоскостью по определению находится в диапазоне от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, его косинус должен быть неотрицательным ($\cos \phi \ge 0$).
$\cos \phi = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.

Ответ:

Косинус угла между прямой $DE$ и плоскостью $ABC$ равен $\frac{1}{3}$.