Номер 22, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22. В правильном тетраэдре $ABCD$ $E$ — точка пересечения медиан треугольника $BCD$. Найдите синус угла между прямой $AE$ и плоскостью $ABC$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.

$E$ — точка пересечения медиан треугольника $BCD$.

Найти:

Синус угла между прямой $AE$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

1. В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками, и все ребра равны по длине. Пусть длина ребра тетраэдра равна $a$.

2. Точка $E$ является центроидом (точкой пересечения медиан) грани $BCD$. В равностороннем треугольнике центроид совпадает с центром треугольника. Отрезок $AE$ соединяет вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, что означает, что $AE$ является высотой тетраэдра.

3. Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Разместим вершину $A$ в начале координат $(0,0,0)$. Пусть $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$ — векторы, исходящие из $A$ к вершинам $B$, $C$, $D$ соответственно. Обозначим их для удобства как $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$.

4. Поскольку тетраэдр правильный:

$ |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = a $

Углы между любыми двумя из этих векторов (например, $\angle BAC$) равны $60^\circ$. Следовательно, их скалярные произведения:

$ \vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos 60^\circ = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2} $

Аналогично, $ \vec{b} \cdot \vec{d} = \frac{a^2}{2} $ и $ \vec{c} \cdot \vec{d} = \frac{a^2}{2} $.

5. Вектор, направленный вдоль прямой $AE$, можно выразить как вектор от $A$ к центроиду треугольника $BCD$:

$ \vec{AE} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3} $

6. Найдем квадрат длины вектора $AE$:

$ |\vec{AE}|^2 = \left|\frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}\right|^2 = \frac{1}{9}(\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) \cdot (\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) $

$ = \frac{1}{9}(|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{d}) + 2(\vec{c} \cdot \vec{d})) $

$ = \frac{1}{9}(a^2 + a^2 + a^2 + 2\left(\frac{a^2}{2}\right) + 2\left(\frac{a^2}{2}\right) + 2\left(\frac{a^2}{2}\right)) $

$ = \frac{1}{9}(3a^2 + 3a^2) = \frac{1}{9}(6a^2) = \frac{2a^2}{3} $

Таким образом, длина вектора $AE$ равна:

$ |\vec{AE}| = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}} $

7. Найдем нормальный вектор к плоскости $ABC$. Плоскость $ABC$ проходит через точки $A, B, C$. Нормальный вектор $\vec{n}$ к этой плоскости может быть найден как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC}$:

$ \vec{n} = \vec{b} \times \vec{c} $

Длина нормального вектора:

$ |\vec{n}| = |\vec{b}||\vec{c}|\sin 60^\circ = a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} $

(Эта длина также равна площади треугольника $ABC$).

8. Найдем скалярное произведение вектора $\vec{AE}$ и нормального вектора $\vec{n}$:

$ \vec{AE} \cdot \vec{n} = \left(\frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}\right) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) $

$ = \frac{1}{3} (\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{d} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})) $

По свойству смешанного произведения, $\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ и $\vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$, так как в каждом из этих выражений векторы линейно зависимы (лежат в одной плоскости).

Следовательно:

$ \vec{AE} \cdot \vec{n} = \frac{1}{3} (\vec{d} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})) $

Абсолютное значение смешанного произведения $ |\vec{d} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| $ равно объему параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$. Объем тетраэдра $ABCD$ с вершиной $A$ в начале координат равен $ V_{ABCD} = \frac{1}{6} |\vec{d} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| $.

Объем правильного тетраэдра со стороной $a$ равен $ V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}} $.

Тогда $ |\vec{d} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 6 V_{ABCD} = 6 \cdot \frac{a^3}{6\sqrt{2}} = \frac{a^3}{\sqrt{2}} $.

Следовательно, $ |\vec{AE} \cdot \vec{n}| = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^3}{\sqrt{2}} = \frac{a^3}{3\sqrt{2}} $.

9. Синус угла $\theta$ между прямой $AE$ и плоскостью $ABC$ определяется по формуле:

$ \sin \theta = \frac{|\vec{AE} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AE}| |\vec{n}|} $

Подставим найденные значения:

$ \sin \theta = \frac{\frac{a^3}{3\sqrt{2}}}{ \left(a\sqrt{\frac{2}{3}}\right) \cdot \left(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right) } $

$ \sin \theta = \frac{\frac{a^3}{3\sqrt{2}}}{ a^3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} } $

$ \sin \theta = \frac{\frac{a^3}{3\sqrt{2}}}{ a^3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} } $

$ \sin \theta = \frac{\frac{1}{3\sqrt{2}}}{ \frac{\sqrt{2}}{2} } = \frac{1}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{3 \cdot 2} = \frac{1}{3} $

Ответ:

$ \frac{1}{3} $