Номер 19, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19. В правильном тетраэдре $ABCD$ найдите косинус угла между прямой $AD$ и плоскостью $ABC$.

Дано

Правильный тетраэдр $ABCD$.

Найти:

Косинус угла между прямой $AD$ и плоскостью $ABC$.

Решение

Пусть длина ребра правильного тетраэдра $ABCD$ равна $a$. Все грани правильного тетраэдра являются равносторонними треугольниками. Треугольник $ABC$ — это одна из граней тетраэдра.

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Прямая $AD$ пересекает плоскость $ABC$ в точке $A$. Следовательно, проекцией точки $A$ на плоскость $ABC$ является сама точка $A$.

Для нахождения проекции прямой $AD$ на плоскость $ABC$, необходимо найти проекцию точки $D$ на плоскость $ABC$. В правильном тетраэдре высота, опущенная из вершины на основание, падает в центр этого основания.

Пусть $H$ — ортогональная проекция точки $D$ на плоскость $ABC$. Так как треугольник $ABC$ является равносторонним, точка $H$ — это центр равностороннего треугольника $ABC$ (точка пересечения медиан, высот и биссектрис).

Таким образом, проекцией прямой $AD$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AH$. Искомый угол — это угол $\angle DAH$.

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Тогда $AM$ является медианой и высотой в равностороннем треугольнике $ABC$.

Длина медианы $AM$ (высоты) равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Точка $H$ является центроидом треугольника $ABC$, которая делит медиану $AM$ в отношении $2:1$, считая от вершины $A$.

Следовательно, длина отрезка $AH$ равна: $AH = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADH$. Катет $DH$ перпендикулярен плоскости $ABC$, а значит, перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая $AH$. Таким образом, угол $\angle DHA$ прямой.

В прямоугольном треугольнике $ADH$:

• Гипотенуза $AD = a$ (ребро тетраэдра).
• Катет $AH = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Косинус угла $\angle DAH$ (который является углом между прямой $AD$ и плоскостью $ABC$) находится как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle DAH) = \frac{AH}{AD}$.

Подставим найденные значения:

$\cos(\angle DAH) = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$.