Номер 24, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, точка $E$ — середина ребра $B_1C_1$. Найдите тангенс угла между прямой $AE$ и плоскостью $ABC$.

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длины всех ребер призмы равны 1: $AB = BC = AC = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Точка $E$ — середина ребра $B_1C_1$.

Перевод в СИ

Длина ребра призмы $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Тангенс угла между прямой $AE$ и плоскостью $ABC$.

Решение

Пусть $\alpha$ — искомый угол между прямой $AE$ и плоскостью $ABC$.

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Проекция точки $A$ на плоскость $ABC$ — это сама точка $A$.

Для нахождения проекции точки $E$ на плоскость $ABC$, опустим перпендикуляр из точки $E$ на плоскость $ABC$. Поскольку призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, плоскость $BCC_1B_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Пусть $E_0$ — проекция точки $E$ на плоскость $ABC$. Так как $E$ — середина ребра $B_1C_1$, то $E_0$ будет серединой ребра $BC$.

Отрезок $EE_0$ является высотой призмы, то есть его длина равна длине бокового ребра: $EE_0 = AA_1 = 1$.

Проекцией прямой $AE$ на плоскость $ABC$ является прямая $AE_0$.

Искомый угол $\alpha$ — это угол между $AE$ и $AE_0$, то есть $\angle EAE_0$.

Рассмотрим треугольник $AE_0E$. Этот треугольник является прямоугольным, так как $EE_0 \perp$ плоскости $ABC$, а значит $EE_0 \perp AE_0$.

Тангенс угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике $AE_0E$ равен отношению длины противолежащего катета $EE_0$ к длине прилежащего катета $AE_0$:

$\tan(\alpha) = \frac{EE_0}{AE_0}$

Нам известна длина $EE_0 = 1$. Найдем длину отрезка $AE_0$.

Треугольник $ABC$ является равносторонним, так как призма правильная и все ее ребра равны 1. Сторона треугольника $ABC$ равна 1.

Точка $E_0$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, отрезок $AE_0$ — это медиана и высота равностороннего треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$.

Длина высоты $h$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $a=1$, поэтому $AE_0 = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим значения $EE_0$ и $AE_0$ в формулу для тангенса угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\tan(\alpha) = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$