Номер 27, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой $BA_1$ и плоскостью $AB_1C_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длины всех ребер призмы равны 1.

Найти:

Синус угла между прямой $BA_1$ и плоскостью $AB_1C_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим призму в декартовой системе координат.

Пусть точка $A$ совпадает с началом координат $(0, 0, 0)$.

Так как призма правильная и все ее ребра равны 1:

• Основания призмы $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками со стороной 1.

• Высота призмы (длина бокового ребра) равна 1.

Зададим координаты вершин:

• $A = (0, 0, 0)$

• Так как $AB=1$, поместим $B$ на оси $Ox$: $B = (1, 0, 0)$.

• Для точки $C$: $C$ является вершиной равностороннего треугольника со стороной 1. Координата $x$ для $C$ будет $1/2$. Координата $y$ будет высотой равностороннего треугольника: $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \text{сторона} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $C = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

• Вершины верхнего основания $A_1B_1C_1$ находятся на высоте 1 от соответствующих вершин нижнего основания:

  • $A_1 = (0, 0, 1)$

  • $B_1 = (1, 0, 1)$

  • $C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

1. Найдем направляющий вектор прямой $BA_1$.

Вектор $\vec{l} = \vec{BA_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек:

$\vec{l} = A_1 - B = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$.

Длина этого вектора: $|\vec{l}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

2. Найдем нормальный вектор плоскости $AB_1C_1$.

Плоскость $AB_1C_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,1)$ и $C_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Возьмем два вектора, лежащих в этой плоскости и исходящих из точки $A$:

$\vec{v_1} = \vec{AB_1} = B_1 - A = (1 - 0, 0 - 0, 1 - 0) = (1, 0, 1)$.

$\vec{v_2} = \vec{AC_1} = C_1 - A = (\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости можно найти как векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2})$

$\vec{n} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} - \frac{1}{2}\mathbf{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{k}$

Таким образом, $\vec{n} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Длина нормального вектора: $|\vec{n}| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

3. Вычислим синус угла между прямой и плоскостью.

Синус угла $\alpha$ между прямой с направляющим вектором $\vec{l}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$ вычисляется по формуле:

$\sin \alpha = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| \cdot |\vec{n}|}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n}$:

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (-1) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (0) \cdot (-\frac{1}{2}) + (1) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для $\sin \alpha$:

$\sin \alpha = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{14}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{14}}$.

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{14}$:

$\sin \alpha = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} = \frac{2\sqrt{3 \cdot 14}}{14} = \frac{2\sqrt{42}}{14} = \frac{\sqrt{42}}{7}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{42}}{7}$