Номер 13, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите синус угла между прямой $DD_1$ и плоскостью $ACB_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Синус угла между прямой $DD_1$ и плоскостью $ACB_1$.

Решение:

Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ направим вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно.

Координаты вершин, которые нам понадобятся:$D = (0,0,0)$$A = (a,0,0)$$C = (0,a,0)$$D_1 = (0,0,a)$$B_1 = (a,a,a)$

Направляющий вектор прямой $DD_1$ может быть выбран как $\vec{v} = \vec{D_1} - \vec{D} = (0-0, 0-0, a-0) = (0,0,a)$. Для удобства вычислений можно использовать вектор $\vec{v} = (0,0,1)$.

Для нахождения нормального вектора к плоскости $ACB_1$, используем точки $A(a,0,0)$, $C(0,a,0)$ и $B_1(a,a,a)$. Составим два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$:$\vec{AC} = C - A = (0-a, a-0, 0-0) = (-a, a, 0)$.$\vec{AB_1} = B_1 - A = (a-a, a-0, a-0) = (0, a, a)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $ACB_1$ является векторным произведением $\vec{AC} \times \vec{AB_1}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a & a & 0 \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = \vec{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \vec{j}(-a \cdot a - 0 \cdot 0) + \vec{k}(-a \cdot a - a \cdot 0)$$\vec{n} = a^2\vec{i} + a^2\vec{j} - a^2\vec{k} = (a^2, a^2, -a^2)$.Можно использовать более простой нормальный вектор, разделив на $a^2$ (поскольку $a \ne 0$): $\vec{n} = (1, 1, -1)$.

Синус угла $\phi$ между прямой, заданной направляющим вектором $\vec{v}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n}$, определяется по формуле:$\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0)(1) + (0)(1) + (1)(-1) = 0 + 0 - 1 = -1$.

Вычислим модули векторов:$||\vec{v}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.$||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Подставим полученные значения в формулу для синуса угла:$\sin \phi = \frac{|-1|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$\sin \phi = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$