Номер 6, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите синус угла между прямой $BC$ и плоскостью $AB_1D_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Пусть длина ребра куба равна $a$.

Найти:

Синус угла между прямой $BC$ и плоскостью $AB_1D_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ совпадала с началом координат $(0,0,0)$. Оси координат $x, y, z$ направим вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно.

Координаты вершин, необходимых для решения:

$A = (0,0,0)$

$B = (a,0,0)$

$C = (a,a,0)$

$B_1 = (a,0,a)$

$D_1 = (0,a,a)$

1. Определим вектор направления прямой $BC$.

Вектор $\vec{BC} = C - B = (a-a, a-0, 0-0) = (0,a,0)$.

2. Определим нормальный вектор к плоскости $AB_1D_1$.

Для этого возьмем два вектора, лежащих в этой плоскости, исходящие из одной точки (например, из $A$):

Вектор $\vec{AB_1} = B_1 - A = (a-0, 0-0, a-0) = (a,0,a)$.

Вектор $\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, a-0, a-0) = (0,a,a)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $AB_1D_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB_1} \times \vec{AD_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & a \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - a \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot 0)$

$\vec{n} = -a^2\mathbf{i} - a^2\mathbf{j} + a^2\mathbf{k} = (-a^2, -a^2, a^2)$.

Для удобства вычислений можно использовать более простой нормальный вектор, пропорциональный $\vec{n}$, например, $\vec{n'} = (1,1,-1)$ (разделив на $-a^2$).

3. Вычислим синус угла между прямой и плоскостью.

Синус угла $\theta$ между прямой (вектор направления $\vec{v}$) и плоскостью (нормальный вектор $\vec{n'}$) определяется по формуле:

$\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n'}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n'}||}$

Подставим наши векторы:

$\vec{v} = \vec{BC} = (0,a,0)$

$\vec{n'} = (1,1,-1)$

Скалярное произведение $\vec{BC} \cdot \vec{n'} = (0)(1) + (a)(1) + (0)(-1) = a$.

Длина вектора $\vec{BC}$: $||\vec{BC}|| = \sqrt{0^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{a^2} = a$.

Длина вектора $\vec{n'}$: $||\vec{n'}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Теперь вычислим синус угла:

$\sin \theta = \frac{|a|}{a \cdot \sqrt{3}} = \frac{a}{a \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$