Номер 4, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите тангенс угла между прямой $DB_1$ и плоскостью $ABC_1$.

5. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Тангенс угла между прямой $DB_1$ и плоскостью $ABC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом.

1.Выберем систему координат.

Пусть длина ребра куба равна $a$. Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $D$ находилась в начале координат $(0,0,0)$.

Тогда координаты вершин будут:

• $D = (0,0,0)$

• $A = (a,0,0)$

• $B = (a,a,0)$

• $C = (0,a,0)$

• $D_1 = (0,0,a)$

• $A_1 = (a,0,a)$

• $B_1 = (a,a,a)$

• $C_1 = (0,a,a)$

2.Найдем направляющий вектор прямой $DB_1$.

Направляющий вектор прямой $DB_1$ - это вектор $\vec{v} = \vec{DB_1}$.

$\vec{v} = B_1 - D = (a-0, a-0, a-0) = (a,a,a)$.

3.Найдем нормальный вектор плоскости $ABC_1$.

Для определения плоскости $ABC_1$ используем точки $A(a,0,0)$, $B(a,a,0)$, $C_1(0,a,a)$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости:

$\vec{AB} = B - A = (a-a, a-0, 0-0) = (0,a,0)$

$\vec{AC_1} = C_1 - A = (0-a, a-0, a-0) = (-a,a,a)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен этим двум векторам и может быть найден как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ -a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot a - a \cdot (-a))$

$\vec{n} = a^2\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + a^2\mathbf{k} = (a^2, 0, a^2)$.

Для удобства вычислений можно взять нормальный вектор, пропорциональный $(1,0,1)$. Пусть $\vec{n} = (1,0,1)$.

4.Вычислим синус угла между прямой и плоскостью.

Угол $\phi$ между прямой, заданной направляющим вектором $\vec{v}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n}$, определяется формулой:

$\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (a)(1) + (a)(0) + (a)(1) = a + 0 + a = 2a$.

Вычислим длины векторов:

$||\vec{v}|| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

$||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Теперь подставим значения в формулу для $\sin \phi$:

$\sin \phi = \frac{|2a|}{a\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2a}{a\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

5.Найдем тангенс угла $\phi$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1$.

$\cos^2 \phi = 1 - \sin^2 \phi = 1 - \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{6}{9} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Поскольку угол между прямой и плоскостью всегда острый ($0^\circ \le \phi \le 90^\circ$), $\cos \phi > 0$.

$\cos \phi = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Теперь найдем тангенс угла, используя определение $\tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi}$:

$\tan \phi = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$