Номер 29, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

29. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $AC_1$ и $BE_1$.

30. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны осно

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Все ребра равны 1.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра основания $a = 1$ (условная единица длины).

Высота призмы $h = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Косинус угла между прямыми $AC_1$ и $BE_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим призму в декартовой системе координат.

Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.

Так как призма правильная, и все ребра равны 1, то длина стороны основания $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Вершины правильного шестиугольника с центром в начале координат и стороной $a=1$ могут быть заданы следующими координатами:

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $D = (-1, 0, 0)$

• $E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Соответствующие вершины верхнего основания $A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ будут иметь ту же x и y координаты, но z-координату, увеличенную на высоту призмы $h=1$.

• $A_1 = (1, 0, 1)$

• $B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

• $C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

• $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем векторы, соответствующие прямым $AC_1$ и $BE_1$:

Вектор $\vec{AC_1} = C_1 - A = (-\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Вектор $\vec{BE_1} = E_1 - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 1)$

Обозначим $\vec{u} = \vec{AC_1}$ и $\vec{v} = \vec{BE_1}$.

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-\frac{3}{2})(-1) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\sqrt{3}) + (1)(1)$

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} + 1 = 1$

Вычислим длины (модули) этих векторов:

$|\vec{u}| = |\vec{AC_1}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2}$

$|\vec{u}| = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{\frac{12}{4} + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$|\vec{v}| = |\vec{BE_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2}$

$|\vec{v}| = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Подставим найденные значения:

$\cos \theta = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{5}}$

Рационализируем знаменатель:

$\cos \theta = \frac{1}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{10}$