Номер 26, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $BA_1$ и $FB_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны $1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

$\cos(\angle(BA_1, FB_1))$

Решение:

Для нахождения косинуса угла между прямыми $BA_1$ и $FB_1$ используем метод координат.
Поместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начало координат $(0,0,0)$.
Поскольку призма правильная и все её ребра равны $1$, то сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.
Координаты вершин нижнего основания правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат следующие:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
Координаты соответствующих вершин верхнего основания будут иметь $z$-координату, равную высоте призмы, то есть $1$:
$A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
Найдем векторы, соответствующие прямым $BA_1$ и $FB_1$.
Вектор $\vec{BA_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек: $A_1 - B$.
$\vec{BA_1} = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.
Длина вектора $|\vec{BA_1}|$ вычисляется как корень из суммы квадратов его координат:
$|\vec{BA_1}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
Вектор $\vec{FB_1}$ определяется как разность координат $B_1 - F$.
$\vec{FB_1} = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (0, \sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2, 1) = (0, \sqrt{3}, 1)$.
Длина вектора $|\vec{FB_1}|$:
$|\vec{FB_1}| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой скалярного произведения:
$\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{FB_1}$:
$\vec{BA_1} \cdot \vec{FB_1} = (1/2)(0) + (-\sqrt{3}/2)(\sqrt{3}) + (1)(1) = 0 - 3/2 + 1 = -1/2$.
Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos\alpha = \frac{-1/2}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{-1/2}{2\sqrt{2}} = \frac{-1}{4\sqrt{2}}$.
Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\cos\alpha = \frac{-1 \cdot \sqrt{2}}{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{4 \cdot 2} = \frac{-\sqrt{2}}{8}$.
Угол между прямыми обычно определяется как острый угол ($0 \le \theta \le \pi/2$). Поэтому, если косинус угла между векторами отрицательный, мы берем его абсолютное значение, чтобы получить косинус острого угла между прямыми.
$\cos\theta = |\cos\alpha| = \left|\frac{-\sqrt{2}}{8}\right| = \frac{\sqrt{2}}{8}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{2}}{8}$