Номер 21, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $AC$ и $DE_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Все ребра $a = 1$ (длина является безразмерной единицей, используемой для расчетов).

Найти:

Косинус угла между прямыми $AC$ и $DE_1$.

Решение:

Для нахождения косинуса угла между прямыми $AC$ и $DE_1$ воспользуемся координатным методом.

Расположим правильную шестиугольную призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.

Так как длина всех ребер призмы равна 1, то сторона правильного шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (z-координата равна высоте $h=1$):

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$D_1 = (-1, 0, 1)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем координаты векторов, направляющих прямые $AC$ и $DE_1$.

Вектор $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = C - A = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Вектор $\vec{DE_1}$:

$\vec{DE_1} = E_1 - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DE_1}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{DE_1} = (-3/2)(1/2) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (0)(1) = -3/4 - 3/4 + 0 = -6/4 = -3/2$

Вычислим длины векторов:

Длина вектора $\vec{AC}$:

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$

Длина вектора $\vec{DE_1}$:

$|\vec{DE_1}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Теперь найдем косинус угла между прямыми. Поскольку угол между прямыми принято считать острым (от $0^\circ$ до $90^\circ$), мы возьмем абсолютное значение косинуса.

$\cos \theta = \left| \frac{-3/2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} \right| = \left| \frac{-3/2}{\sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-3}{2\sqrt{6}} \right|$

$\cos \theta = \frac{3}{2\sqrt{6}}$

Удалим иррациональность из знаменателя, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$\cos \theta = \frac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

21.Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$