Номер 15, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, точки $E$, $F$ — середины ребер соответственно $SC$ и $SD$. Найдите косинус угла между прямыми $AF$ и $BE$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длина всех ребер пирамиды равна $1$. То есть $AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=1$.

Точки $E$ и $F$ — середины ребер $SC$ и $SD$ соответственно.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AF$ и $BE$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом.

Расположим центр основания пирамиды $ABCD$ в начале координат $O(0,0,0)$.

Сторона основания $a=1$. Высота пирамиды $SO=h$.

Координаты вершин основания:

$A = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$

$B = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$

$C = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$

$D = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$

Найдем высоту пирамиды $h$. Треугольник $SOA$ — прямоугольный, где $SA=1$, а $OA$ — половина диагонали основания. Диагональ основания $AC = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

Тогда $OA = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Из теоремы Пифагора для $\triangle SOA$:

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

$1^2 = h^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$1 = h^2 + \frac{2}{4}$

$1 = h^2 + \frac{1}{2}$

$h^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Координаты вершины $S$: $S = (0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Точки $E$ и $F$ — середины ребер $SC$ и $SD$ соответственно. Используем формулу для координат середины отрезка:

Координаты $E$ (середина $SC$):

$E = \left(\frac{x_S+x_C}{2}, \frac{y_S+y_C}{2}, \frac{z_S+z_C}{2}\right) = \left(\frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

Координаты $F$ (середина $SD$):

$F = \left(\frac{x_S+x_D}{2}, \frac{y_S+y_D}{2}, \frac{z_S+z_D}{2}\right) = \left(\frac{0-\frac{1}{2}}{2}, \frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+0}{2}\right) = \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

Найдем векторы $\vec{AF}$ и $\vec{BE}$.

Вектор $\vec{AF}$:

$A = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$

$F = (-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$

$\vec{AF} = \left(-\frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}), \frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{2}}{4} - 0\right) = \left(-\frac{1}{4} + \frac{2}{4}, \frac{1}{4} + \frac{2}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

Вектор $\vec{BE}$:

$B = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$

$E = (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$

$\vec{BE} = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}, \frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{2}}{4} - 0\right) = \left(\frac{1}{4} - \frac{2}{4}, \frac{1}{4} + \frac{2}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \left(-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AF}$ и $\vec{BE}$:

$\vec{AF} \cdot \vec{BE} = \left(\frac{1}{4}\right)\left(-\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

$ = -\frac{1}{16} + \frac{9}{16} + \frac{2}{16} = \frac{-1+9+2}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$

Найдем длины (модули) векторов $\vec{AF}$ и $\vec{BE}$:

$||\vec{AF}|| = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{16} + \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{1+9+2}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$||\vec{BE}|| = \sqrt{\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{16} + \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{1+9+2}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Косинус угла $\theta$ между прямыми $AF$ и $BE$ равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами:

$\cos \theta = \frac{|\vec{AF} \cdot \vec{BE}|}{||\vec{AF}|| \cdot ||\vec{BE}||}$

Так как $\vec{AF} \cdot \vec{BE} = \frac{5}{8} > 0$, модуль не требуется.

$\cos \theta = \frac{\frac{5}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{5}{8}}{\frac{3}{4}} = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$

Ответ:

$\frac{5}{6}$