Номер 27, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $BA_1$ и $CD_1$.

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все рёбра призмы равны 1.
(Длины рёбер в СИ не переводятся, так как это задача на отношение векторов).

Найти:
Косинус угла между прямыми $BA_1$ и $CD_1$.

Решение:
Для решения задачи введём декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O=(0,0,0)$. Поскольку призма правильная и все её рёбра равны 1, то сторона правильного шестиугольника в основании равна 1, и высота призмы также равна 1. Вершины правильного шестиугольника с центром в начале координат и стороной $a=1$ могут быть представлены следующим образом:
$A=(1,0,0)$
$B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$D=(-1,0,0)$
Вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь те же координаты по $x$ и $y$, но $z$-координата будет равна высоте призмы, т.е. 1.
$A_1=(1,0,1)$
$D_1=(-1,0,1)$

Найдём векторы, соответствующие прямым $BA_1$ и $CD_1$:
Вектор $\vec{BA_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек $A_1 - B$:
$\vec{BA_1} = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
Вектор $\vec{CD_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек $D_1 - C$:
$\vec{CD_1} = (-1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле скалярного произведения:
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{CD_1}$:
$\vec{BA_1} \cdot \vec{CD_1} = (1/2) \cdot (-1/2) + (-\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) + (1) \cdot (1)$
$= -1/4 + 3/4 + 1$
$= 2/4 + 1 = 1/2 + 1 = 3/2$

Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{BA_1}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2}$
$= \sqrt{1/4 + 3/4 + 1}$
$= \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
$|\vec{CD_1}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2}$
$= \sqrt{1/4 + 3/4 + 1}$
$= \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Теперь найдём косинус угла $\theta$ между прямыми $BA_1$ и $CD_1$:
$\cos \theta = \frac{3/2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
$\cos \theta = \frac{3/2}{2}$
$\cos \theta = \frac{3}{4}$

Ответ: $3/4$