Номер 3, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите тангенс угла между прямой $AC_1$ и плоскостью $BCD_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Тангенс угла между прямой $AC_1$ и плоскостью $BCD_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Пусть длина ребра куба равна $a$. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин будут:

$A=(0,0,0)$

$B=(a,0,0)$

$C=(a,a,0)$

$D=(0,a,0)$

$A_1=(0,0,a)$

$B_1=(a,0,a)$

$C_1=(a,a,a)$

$D_1=(0,a,a)$

Найдем направляющий вектор прямой $AC_1$. Вектор $\vec{AC_1}$ имеет координаты:

$\vec{l} = \vec{AC_1} = C_1 - A = (a-0, a-0, a-0) = (a,a,a)$.

Для удобства вычислений можно взять пропорциональный вектор $\vec{l} = (1,1,1)$.

Найдем нормальный вектор плоскости $BCD_1$. Для этого возьмем три точки, принадлежащие плоскости: $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D_1(0,a,a)$.

Составим два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{BC} = C - B = (a-a, a-0, 0-0) = (0,a,0)$.

$\vec{BD_1} = D_1 - B = (0-a, a-0, a-0) = (-a,a,a)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BCD_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{BC}$ и $\vec{BD_1}$:

$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & a & 0 \\ -a & a & a \end{vmatrix} = \vec{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \vec{j}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) + \vec{k}(0 \cdot a - a \cdot (-a))$

$\vec{n} = (a^2, 0, a^2)$.

Для удобства вычислений можно взять пропорциональный вектор $\vec{n} = (1,0,1)$.

Угол $\phi$ между прямой (с направляющим вектором $\vec{l}$) и плоскостью (с нормальным вектором $\vec{n}$) определяется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n}$:

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (1)(1) + (1)(0) + (1)(1) = 1 + 0 + 1 = 2$.

Вычислим длины векторов $||\vec{l}||$ и $||\vec{n}||$:

$||\vec{l}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

$||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь подставим значения в формулу для $\sin \phi$:

$\sin \phi = \frac{|2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Для нахождения тангенса угла $\phi$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1$.

$\cos^2 \phi = 1 - \sin^2 \phi = 1 - \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{6}{9} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Поскольку $\phi$ является углом между прямой и плоскостью, $0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$, следовательно $\cos \phi \ge 0$.

$\cos \phi = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Теперь найдем тангенс $\tan \phi$:

$\tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$.

Ответ:

$\sqrt{2}$