Номер 2, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $CB_1D_1$.

3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ най...

Дано:

куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $CB_1D_1$.

Решение:

обозначим сторону куба за $a$.введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$.оси $x, y, z$ направим вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно.

тогда координаты вершин будут:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (a,0,0)$
• $C = (a,a,0)$
• $D = (0,a,0)$
• $A_1 = (0,0,a)$
• $B_1 = (a,0,a)$
• $C_1 = (a,a,a)$
• $D_1 = (0,a,a)$

1. Найдем нормальный вектор плоскости $ABC$.

плоскость $ABC$ совпадает с координатной плоскостью $xy$ (плоскость $z=0$).ее нормальный вектор можно взять как $\vec{n_1} = (0,0,1)$.

2. Найдем нормальный вектор плоскости $CB_1D_1$.

для этого найдем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{CB_1}$ и $\vec{CD_1}$.

• $\vec{CB_1} = B_1 - C = (a-a, 0-a, a-0) = (0, -a, a)$
• $\vec{CD_1} = D_1 - C = (0-a, a-a, a-0) = (-a, 0, a)$

нормальный вектор $\vec{n_2}$ перпендикулярен обоим этим векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n_2} = \vec{CB_1} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -a & a \\ -a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-a)(a) - (a)(0)) - \mathbf{j}((0)(a) - (a)(-a)) + \mathbf{k}((0)(0) - (-a)(-a))$

$\vec{n_2} = \mathbf{i}(-a^2) - \mathbf{j}(a^2) + \mathbf{k}(-a^2) = (-a^2, -a^2, -a^2)$

для удобства можем взять более простой нормальный вектор, пропорциональный $(-a^2, -a^2, -a^2)$, например, поделив на $-a^2$: $\vec{n_2} = (1,1,1)$.

3. Найдем косинус угла между плоскостями.

угол $\phi$ между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами.косинус угла между векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

где:

• $\vec{n_1} = (0,0,1)$
• $\vec{n_2} = (1,1,1)$

скалярное произведение $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(1) + (0)(1) + (1)(1) = 1$.

длины векторов:

• $||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$
• $||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$

теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

4. Найдем тангенс угла между плоскостями.

используем тригонометрическое тождество $\tan^2 \phi + 1 = \sec^2 \phi = \frac{1}{\cos^2 \phi}$.

$\tan^2 \phi = \frac{1}{\cos^2 \phi} - 1$

$\cos^2 \phi = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$

$\tan^2 \phi = \frac{1}{1/3} - 1 = 3 - 1 = 2$

поскольку угол между плоскостями по определению является острым (или прямым), его тангенс должен быть положительным.

$\tan \phi = \sqrt{2}$

Ответ:

тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $CB_1D_1$ равен $\sqrt{2}$.