Номер 6, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите косинус угла между плоскостями $BDA_1$ и $BDC_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Плоскости $BDA_1$ и $BDC_1$.

Найти:

Косинус угла между плоскостями $BDA_1$ и $BDC_1$.

Решение:

1. Пусть длина ребра куба равна $a$.

2. Плоскости $BDA_1$ и $BDC_1$ имеют общую прямую $BD$. Эта прямая является линией пересечения данных плоскостей.

3. Угол между двумя плоскостями определяется как угол между двумя прямыми, каждая из которых лежит в одной из плоскостей, обе перпендикулярны линии пересечения плоскостей и пересекаются в одной точке на этой линии.

4. Рассмотрим точку $O$ — центр квадрата $ABCD$. Точка $O$ является серединой диагонали $BD$ и лежит на линии пересечения $BD$.

5. Рассмотрим треугольник $A_1BD$. Длины его сторон: $BD = a\sqrt{2}$ (диагональ грани). $A_1D = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ (диагональ грани $ADD_1A_1$). $A_1B = \sqrt{A_1A^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ (диагональ грани $A_1B_1BA$). Таким образом, треугольник $A_1BD$ является равносторонним. Поскольку $O$ — середина $BD$, медиана $A_1O$ в равностороннем треугольнике $A_1BD$ также является высотой. Следовательно, $A_1O \perp BD$. Прямая $A_1O$ лежит в плоскости $BDA_1$ и перпендикулярна $BD$ в точке $O$.

6. Рассмотрим треугольник $C_1BD$. Длины его сторон: $BD = a\sqrt{2}$. $C_1D = \sqrt{CD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ (диагональ грани $CDD_1C_1$). $C_1B = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ (диагональ грани $BCC_1B_1$). Таким образом, треугольник $C_1BD$ также является равносторонним. Поскольку $O$ — середина $BD$, медиана $C_1O$ в равностороннем треугольнике $C_1BD$ также является высотой. Следовательно, $C_1O \perp BD$. Прямая $C_1O$ лежит в плоскости $BDC_1$ и перпендикулярна $BD$ в точке $O$.

7. Угол между плоскостями $BDA_1$ и $BDC_1$ равен углу $\angle A_1OC_1$. Найдем косинус этого угла, используя метод координат. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $D$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $DA$, $DC$, $DD_1$ лежали на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Для удобства расчетов примем длину ребра куба $a=1$. Координаты необходимых вершин: $D=(0,0,0)$ $B=(1,1,0)$ $A_1=(1,0,1)$ $C_1=(0,1,1)$ Точка $O$ является серединой отрезка $BD$, поэтому ее координаты: $O = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$.

8. Найдем координаты векторов $\vec{OA_1}$ и $\vec{OC_1}$: $\vec{OA_1} = A_1 - O = (1 - 1/2, 0 - 1/2, 1 - 0) = (1/2, -1/2, 1)$. $\vec{OC_1} = C_1 - O = (0 - 1/2, 1 - 1/2, 1 - 0) = (-1/2, 1/2, 1)$.

9. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{OA_1}$ и $\vec{OC_1}$: $\vec{OA_1} \cdot \vec{OC_1} = (1/2) \cdot (-1/2) + (-1/2) \cdot (1/2) + (1) \cdot (1) = -1/4 - 1/4 + 1 = -1/2 + 1 = 1/2$.

10. Вычислим длины (модули) векторов $\vec{OA_1}$ и $\vec{OC_1}$: $|\vec{OA_1}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-1/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 1/4 + 1} = \sqrt{1/2 + 1} = \sqrt{3/2}$. $|\vec{OC_1}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (1/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 1/4 + 1} = \sqrt{1/2 + 1} = \sqrt{3/2}$.

11. Косинус угла $\phi$ между векторами $\vec{OA_1}$ и $\vec{OC_1}$ (что и есть угол между плоскостями) определяется по формуле: $\cos \phi = \frac{\vec{OA_1} \cdot \vec{OC_1}}{|\vec{OA_1}| \cdot |\vec{OC_1}|}$ $\cos \phi = \frac{1/2}{\sqrt{3/2} \cdot \sqrt{3/2}} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ:

Косинус угла между плоскостями $BDA_1$ и $BDC_1$ равен $\frac{1}{3}$.