Номер 7, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E, F$ — середины ребер соответственно $AB$ и $BC$. Найдите косинус угла $EDF$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.

Точки $E$ и $F$ – середины рёбер $AB$ и $BC$ соответственно.

Длину ребра тетраэдра обозначим как $a$.

Найти:

Косинус угла $EDF$, то есть $\cos(\angle EDF)$.

Решение:

Для нахождения косинуса угла $EDF$ в треугольнике $EDF$ воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$. Отсюда, $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$. Применяя эту формулу к углу $EDF$ в треугольнике $EDF$:

$\cos(\angle EDF) = \frac{DE^2 + DF^2 - EF^2}{2 \cdot DE \cdot DF}$.

Найдем длины сторон треугольника $EDF$.

1.Длина отрезка $EF$:

Точки $E$ и $F$ являются серединами рёбер $AB$ и $BC$ соответственно. Грань $ABC$ правильного тетраэдра представляет собой равносторонний треугольник со стороной $a$. Отрезок $EF$ является средней линией треугольника $ABC$.

По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. В данном случае, $EF = \frac{1}{2} AC$.

Так как $AC = a$ (является ребром правильного тетраэдра), то $EF = \frac{a}{2}$.

2.Длина отрезка $DE$:

Рассмотрим грань $DAB$. Это равносторонний треугольник со стороной $a$. Точка $E$ – середина ребра $AB$. Следовательно, отрезок $DE$ является медианой в равностороннем треугольнике $DAB$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой.

Длина медианы (и высоты) в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Значит, $DE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

3.Длина отрезка $DF$:

Рассмотрим грань $DBC$. Это также равносторонний треугольник со стороной $a$. Точка $F$ – середина ребра $BC$. Следовательно, отрезок $DF$ является медианой в равностороннем треугольнике $DBC$.

Значит, $DF = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим найденные длины сторон в формулу для косинуса угла $EDF$:

$DE^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4}$.

$DF^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4}$.

$EF^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$.

Подставляем значения в формулу для косинуса:

$\cos(\angle EDF) = \frac{\frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4}}{2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}$

Вычислим числитель: $\frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{6a^2 - a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$.

Вычислим знаменатель: $2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{3a^2}{4} = \frac{6a^2}{4}$.

Таким образом:

$\cos(\angle EDF) = \frac{\frac{5a^2}{4}}{\frac{6a^2}{4}}$

$\cos(\angle EDF) = \frac{5a^2}{6a^2}$

$\cos(\angle EDF) = \frac{5}{6}$.

Ответ:

Косинус угла $EDF$ равен $\frac{5}{6}$.