Номер 4, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите косинус угла между прямыми $AC_1$ и $CA_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Косинус угла между прямыми $AC_1$ и $CA_1$.

Решение:

Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ направим вдоль ребер $AB$, $AD$, $AA_1$ соответственно.

Тогда координаты вершин, необходимых для решения задачи, будут: $A = (0, 0, 0)$ $C = (a, a, 0)$ $A_1 = (0, 0, a)$ $C_1 = (a, a, a)$

Найдем векторы, соответствующие прямым $AC_1$ и $CA_1$: Вектор $\vec{AC_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{AC_1} = C_1 - A = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$.

Вектор $\vec{CA_1}$ также определяется как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{CA_1} = A_1 - C = (0-a, 0-a, a-0) = (-a, -a, a)$.

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле скалярного произведения: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{CA_1}$: $\vec{AC_1} \cdot \vec{CA_1} = (a)(-a) + (a)(-a) + (a)(a) = -a^2 - a^2 + a^2 = -a^2$.

Вычислим модули (длины) векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{CA_1}$: $|\vec{AC_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. $|\vec{CA_1}| = \sqrt{(-a)^2 + (-a)^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла: $\cos \theta = \frac{-a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{-a^2}{3a^2} = -\frac{1}{3}$.

По определению, угол между двумя прямыми принимается как наименьший из двух углов, образованных при их пересечении, то есть острый или прямой угол ($0^\circ \le \theta \le 90^\circ$). Косинус такого угла должен быть неотрицательным. Если скалярное произведение дает отрицательный косинус, это означает, что угол между векторами тупой ($\theta > 90^\circ$). В этом случае угол между прямыми будет равен $180^\circ - \theta$, и его косинус будет равен абсолютной величине полученного значения.

Следовательно, косинус угла между прямыми $AC_1$ и $CA_1$ равен $|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$