Номер 3, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите косинус угла между прямыми $BD_1$ и $DB_1$.

Дано:
Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:
Косинус угла между прямыми $BD_1$ и $DB_1$.

Решение:
Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Ребра куба $AB$, $AD$, $AA_1$ направим вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Определим координаты необходимых вершин:
$A(0,0,0)$
$B(a,0,0)$
$D(0,a,0)$
$B_1(a,0,a)$ (так как $B_1$ находится над $B$ на высоте $a$)
$D_1(0,a,a)$ (так как $D_1$ находится над $D$ на высоте $a$)

Найдем векторы, которые задают направления прямых $BD_1$ и $DB_1$.
Вектор $\vec{BD_1}$ находится как разность координат конечной точки и начальной точки:
$\vec{u} = \vec{BD_1} = D_1 - B = (0-a, a-0, a-0) = (-a, a, a)$

Вектор $\vec{DB_1}$ также находится как разность координат конечной и начальной точки:
$\vec{v} = \vec{DB_1} = B_1 - D = (a-0, 0-a, a-0) = (a, -a, a)$

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле скалярного произведения:
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-a)(a) + (a)(-a) + (a)(a) = -a^2 - a^2 + a^2 = -a^2$

Вычислим длины (модули) векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:
$|\vec{u}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$
$|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + (-a)^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{-a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{-a^2}{3a^2} = -\frac{1}{3}$

Угол между прямыми обычно определяется как наименьший из углов, образованных при их пересечении, то есть как острый угол, косинус которого должен быть неотрицательным. Если косинус, полученный из скалярного произведения, отрицательный, это означает, что угол между векторами тупой. Для определения косинуса угла между прямыми, мы берем абсолютное значение от полученного косинуса:
$\cos \alpha = |\cos \theta| = \left|-\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3}$

Ответ: $1/3$