Номер 15, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, найдите угол между плоскостями $ADD_1$ и $BFF_1$.

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Найти:

Угол между плоскостями $ADD_1$ и $BFF_1$.

Решение:

Рассмотрим правильную шестиугольную призму $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$. Это означает, что основания призмы, $ABCDEF$ и $A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, являются правильными шестиугольниками, а боковые рёбра призмы ($AA_1, BB_1, CC_1, DD_1, EE_1, FF_1$) перпендикулярны плоскостям оснований.

Пусть $O$ - центр нижнего основания $ABCDEF$, а $O_1$ - центр верхнего основания $A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$. Прямая $OO_1$ соединяет центры оснований и является осью призмы. Она перпендикулярна обеим плоскостям оснований.

Рассмотрим плоскость $ADD_1$. Эта плоскость содержит прямую $AD$ и прямую $DD_1$. Так как боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, то плоскость $ADD_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. (Плоскость $ADD_1$ это то же самое, что плоскость $ADD_1A_1$).

Аналогично, рассмотрим плоскость $BFF_1$. Эта плоскость содержит прямую $BF$ и прямую $FF_1$. Так как боковое ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, то плоскость $BFF_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. (Плоскость $BFF_1$ это то же самое, что плоскость $BFF_1B_1$).

Поскольку обе плоскости $ADD_1$ и $BFF_1$ перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$, их линия пересечения также должна быть перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Диагонали $AD$ и $BF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ являются большими диагоналями и пересекаются в его центре $O$. Таким образом, точка $O$ принадлежит как прямой $AD$ (и, следовательно, плоскости $ADD_1$), так и прямой $BF$ (и, следовательно, плоскости $BFF_1$). Аналогично, точка $O_1$ (центр верхнего основания) принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, линия пересечения плоскостей $ADD_1$ и $BFF_1$ является прямой $OO_1$.

Чтобы найти угол между двумя плоскостями, необходимо выбрать точку на их линии пересечения (например, точку $O$) и провести через эту точку две прямые: одну в первой плоскости, перпендикулярную линии пересечения, и вторую во второй плоскости, также перпендикулярную линии пересечения. Угол между этими двумя прямыми и будет искомым углом между плоскостями.

В плоскости $ADD_1$, прямая $AD$ проходит через $O$ и лежит в плоскости основания $ABCDEF$. Поскольку прямая $OO_1$ перпендикулярна плоскости $ABCDEF$, то любая прямая в плоскости основания, проходящая через $O$, перпендикулярна $OO_1$. Таким образом, $AD \perp OO_1$. Значит, прямая $AD$ является одной из искомых прямых.

В плоскости $BFF_1$, прямая $BF$ проходит через $O$ и лежит в плоскости основания $ABCDEF$. Аналогично, $BF \perp OO_1$. Значит, прямая $BF$ является второй искомой прямой.

Следовательно, угол между плоскостями $ADD_1$ и $BFF_1$ равен углу между прямыми $AD$ и $BF$.

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ в плоскости основания. В правильном шестиугольнике все большие диагонали (соединяющие противоположные вершины, такие как $AD$, $BE$, $CF$) проходят через его центр $O$. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, образованных его сторонами и отрезками, соединяющими центр $O$ с вершинами. Угол между радиусами, идущими к соседним вершинам, равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$. То есть, $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOE = \angle EOF = \angle FOA = 60^\circ$.

Прямая $AD$ содержит отрезки $AO$ и $OD$. Прямая $BF$ содержит отрезки $BO$ и $OF$. Эти две прямые пересекаются в центре $O$. Угол между прямыми $AD$ и $BF$ - это острый угол, образованный их пересечением. Этот угол равен $\angle AOB = 60^\circ$ (или $\angle AOF = 60^\circ$, $\angle COD = 60^\circ$, $\angle DOE = 60^\circ$, $\angle EOF = 60^\circ$, $\angle FOA = 60^\circ$). Все углы между большими диагоналями правильного шестиугольника, пересекающимися в его центре, равны $60^\circ$.

Таким образом, угол между плоскостями $ADD_1$ и $BFF_1$ равен $60^\circ$.

Ответ:

Угол между плоскостями $ADD_1$ и $BFF_1$ равен $60^\circ$.