Номер 9, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, найдите угол между плоскостями $ACC_1$ и $AEE_1$.

10. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, найдите

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Плоскости $ACC_1$ и $AEE_1$.

Найти:

Угол между плоскостями $ACC_1$ и $AEE_1$.

Решение

1.Определение линии пересечения плоскостей.

Обе заданные плоскости, $ACC_1$ и $AEE_1$, проходят через общую прямую $AA_1$. Следовательно, линия их пересечения — это прямая $AA_1$.

2.Построение перпендикулярной плоскости.

Поскольку данная призма является правильной, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Таким образом, плоскость нижнего основания $ABCDEF$ перпендикулярна боковому ребру $AA_1$, которое является линией пересечения плоскостей.

3.Нахождение прямых пересечения в перпендикулярной плоскости.

Угол между двумя плоскостями равен углу между прямыми, по которым эти плоскости пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. В нашем случае, перпендикулярная плоскость — это плоскость основания $ABCDEF$.

Плоскость $ACC_1$ пересекается с плоскостью основания $ABCDEF$ по прямой $AC$.

Плоскость $AEE_1$ пересекается с плоскостью основания $ABCDEF$ по прямой $AE$.

Следовательно, искомый угол между плоскостями $ACC_1$ и $AEE_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $AE$ в плоскости основания, то есть углу $\angle CAE$.

4.Вычисление угла в основании.

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть длина стороны шестиугольника равна $a$.

Внутренний угол правильного шестиугольника вычисляется по формуле: $\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$, где $n$ — количество сторон. Для шестиугольника $n=6$, поэтому каждый внутренний угол равен $\frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Таким образом, $\angle FAB = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как это правильный шестиугольник, $AB=BC=a$. Треугольник $ABC$ является равнобедренным с углом при вершине $\angle ABC = 120^\circ$. Углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $AFE$. $AF=FE=a$. Треугольник $AFE$ является равнобедренным с углом при вершине $\angle AFE = 120^\circ$. Углы при основании $AE$ равны: $\angle FAE = \angle FEA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Теперь мы можем найти угол $\angle CAE$. Он находится внутри угла $\angle FAB$:
$\angle CAE = \angle FAB - \angle BAC - \angle FAE$

Подставим известные значения:
$\angle CAE = 120^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

Ответ:

$60^\circ$