Номер 3, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите угол между плоскостями $AB C_1$ и $BCD$.

4. В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $AD$. Най-

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Угол между плоскостями $AB C_1$ и $BCD_1$.

Решение:

Для определения угла между двумя плоскостями используем метод нормальных векторов. Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем систему координат с началом в точке $D$.

Координаты вершин куба:

• $D=(0,0,0)$

• $C=(a,0,0)$

• $B=(a,a,0)$

• $A=(0,a,0)$

• $D_1=(0,0,a)$

• $C_1=(a,0,a)$

• $B_1=(a,a,a)$

• $A_1=(0,a,a)$

Плоскость $AB C_1$:

Возьмем три точки, принадлежащие плоскости: $A(0,a,0)$, $B(a,a,0)$, $C_1(a,0,a)$.Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{AB} = B - A = (a-0, a-a, 0-0) = (a, 0, 0)$

$\vec{AC_1} = C_1 - A = (a-0, 0-a, a-0) = (a, -a, a)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $AB C_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC_1}$:

$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ a & -a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot (-a) - 0 \cdot a) = (0, -a^2, -a^2)$.

Для удобства расчетов можем взять нормальный вектор, пропорциональный $(0, -a^2, -a^2)$, например, $(0, 1, 1)$.

Плоскость $BCD_1$:

Возьмем три точки, принадлежащие плоскости: $B(a,a,0)$, $C(a,0,0)$, $D_1(0,0,a)$.Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{CB} = B - C = (a-a, a-0, 0-0) = (0, a, 0)$

$\vec{CD_1} = D_1 - C = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $BCD_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{CB} \times \vec{CD_1}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ -a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - a \cdot (-a)) = (a^2, 0, a^2)$.

Для удобства расчетов можем взять нормальный вектор, пропорциональный $(a^2, 0, a^2)$, например, $(1, 0, 1)$.

Угол между плоскостями:

Угол $\theta$ между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$. Используем формулу для косинуса угла между векторами:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

Где $\vec{n_1} = (0, 1, 1)$ и $\vec{n_2} = (1, 0, 1)$.

Скалярное произведение:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(1) + (1)(0) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$

Модули векторов:

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$

Подставляем значения в формулу:

$\cos \theta = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

Следовательно,

$\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$