Номер 33, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BF$ и плоскостью $BCE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Найти:

Угол между прямой $BF$ и плоскостью $BCE_1$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат. Разместим призму в декартовой системе координат.

Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.

Вершины правильного шестиугольника со стороной $a=1$ могут быть заданы следующими координатами:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (-1, 0, 0)$
• $E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Поскольку высота призмы также равна 1, координаты соответствующих вершин верхнего основания будут иметь z-координату 1.

• $B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
• $C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
• $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

1. Вектор направления прямой $BF$:

Прямая $BF$ проходит через точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вектор $\vec{l} = \vec{BF} = F - B = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$.

Длина вектора $|\vec{l}| = |\vec{BF}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3}$.

2. Нормальный вектор плоскости $BCE_1$:

Плоскость $BCE_1$ определяется точками $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{CB} = B - C = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (1, 0, 0)$.

$\vec{CE_1} = E_1 - C = (-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BCE_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{CB}$ и $\vec{CE_1}$:

$\vec{n} = \vec{CB} \times \vec{CE_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3})) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 0)$

$\vec{n} = 0\mathbf{i} - 1\mathbf{j} - \sqrt{3}\mathbf{k} = (0, -1, -\sqrt{3})$.

Длина нормального вектора $|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

3. Угол между прямой и плоскостью:

Синус угла $\alpha$ между прямой с направляющим вектором $\vec{l}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$ определяется формулой:

$\sin \alpha = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| \cdot |\vec{n}|}$.

Скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n}$:

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (0)(0) + (-\sqrt{3})(-1) + (0)(-\sqrt{3}) = 0 + \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$.

Теперь подставим значения в формулу для $\sin \alpha$:

$\sin \alpha = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{3} \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, угол $\alpha = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$.

Ответ:

Угол между прямой $BF$ и плоскостью $BCE_1$ равен $30^\circ$.