Номер 28, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

28. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $FB$ и плоскостью $BDD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все рёбра равны $a = 1$.

Найти:

Угол между прямой $FB$ и плоскостью $BDD_1$.

Решение:

Обозначим длину ребра призмы как $a$. По условию задачи, $a = 1$.

1.Анализ основания призмы:
Основание призмы $ABCDEF$ является правильным шестиугольником со стороной $a=1$.
Рассмотрим диагонали $FB$ и $BD$ в этом шестиугольнике. В правильном шестиугольнике диагонали, соединяющие вершины через одну (например, $AC, BD, CE, DF, EA, FB$), имеют длину $a\sqrt{3}$.
Таким образом, $FB = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
И $BD = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Рассмотрим также диагональ $FD$. Вершины $F$ и $D$ разделены одной вершиной $E$ ($F \to E \to D$). Следовательно, длина диагонали $FD$ также равна $a\sqrt{3}$.
$FD = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Итак, мы имеем треугольник $FBD$ со сторонами $FB = \sqrt{3}$, $BD = \sqrt{3}$, $FD = \sqrt{3}$.
Поскольку все три стороны треугольника $FBD$ равны, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle FBD = 60^\circ$.

2.Анализ плоскости $BDD_1$:
Плоскость $BDD_1$ содержит боковое ребро $DD_1$. В правильной призме боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. То есть, $DD_1 \perp ABCDEF$.
Если плоскость (в данном случае $BDD_1$) содержит прямую ($DD_1$), которая перпендикулярна другой плоскости ($ABCDEF$), то эти две плоскости перпендикулярны. Следовательно, плоскость $BDD_1 \perp$ плоскости $ABCDEF$.

3.Нахождение угла между прямой и плоскостью:
Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.
Прямая $FB$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$. Плоскость $BDD_1$ перпендикулярна плоскости $ABCDEF$.
Линия пересечения этих двух плоскостей ($BDD_1$ и $ABCDEF$) является прямой $BD$.
Если прямая лежит в одной из двух перпендикулярных плоскостей и пересекает линию их пересечения, то угол между этой прямой и второй плоскостью равен углу между прямой и линией их пересечения, при условии, что прямая не перпендикулярна линии пересечения.
В нашем случае, прямая $FB$ лежит в плоскости $ABCDEF$, плоскость $BDD_1$ перпендикулярна $ABCDEF$. Линия их пересечения — $BD$. Прямая $FB$ пересекает $BD$ в точке $B$.
Ранее мы установили, что треугольник $FBD$ является равносторонним, и $\angle FBD = 60^\circ$. Поскольку $60^\circ \ne 90^\circ$, прямая $FB$ не перпендикулярна прямой $BD$.
Следовательно, угол между прямой $FB$ и плоскостью $BDD_1$ равен углу между прямой $FB$ и прямой $BD$, то есть $\angle FBD$.

Искомый угол равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$