Номер 21, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AF$ и плоскостью $BCC_1$.

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер призмы равна 1.

Найти:
Угол между прямой $AF$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение:
Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Так как призма правильная, ее основания являются правильными шестиугольниками. Длина всех ребер, включая стороны основания и боковые ребра, равна 1.

Выберем расположение вершин шестиугольника $ABCDEF$ в плоскости $z=0$ (нижнее основание). Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности. В нашем случае $a=1$.

Координаты вершин нижнего основания ($z=0$):
Поместим вершину $A$ на положительную ось $x$.
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
(Остальные вершины для решения не требуются).

Координаты вершин верхнего основания (так как высота призмы равна 1, $z=1$):
$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Найдем вектор, направляющий прямую $AF$.
$\vec{AF} = F - A = (1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.
Длина вектора $\vec{AF}$ (так как $AF$ является стороной правильного шестиугольника со стороной 1):
$||\vec{AF}|| = \sqrt{(-1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 3/4} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем нормальный вектор плоскости $BCC_1$.
Плоскость $BCC_1$ содержит точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.
Заметим, что все эти точки имеют одинаковую $y$-координату: $\sqrt{3}/2$.
Следовательно, уравнение плоскости $BCC_1$ есть $y = \sqrt{3}/2$.
Нормальный вектор этой плоскости $\vec{n} = (0, 1, 0)$.
Длина нормального вектора $||\vec{n}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Угол $\theta$ между прямой с направляющим вектором $\vec{l}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$ определяется формулой:
$\sin \theta = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Подставим значения:
$\vec{l} = \vec{AF} = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$\vec{n} = (0, 1, 0)$
Скалярное произведение:
$\vec{l} \cdot \vec{n} = (-1/2)(0) + (-\sqrt{3}/2)(1) + (0)(0) = 0 - \sqrt{3}/2 + 0 = -\sqrt{3}/2$.

Теперь вычислим $\sin \theta$:
$\sin \theta = \frac{|-\sqrt{3}/2|}{1 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Отсюда находим угол $\theta$:
$\theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$