Номер 27, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BA_1$ и плоскостью $BDD_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра призмы равны 1, то есть длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Угол между прямой $BA_1$ и плоскостью $BDD_1$.

Решение

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Пусть $\alpha$ — искомый угол.

1.Найдем точку пересечения прямой $BA_1$ и плоскости $BDD_1$.
Точка $B$ является вершиной нижней грани и принадлежит плоскости $BDD_1$. Следовательно, точка $B$ является точкой пересечения прямой $BA_1$ и плоскости $BDD_1$.

2.Найдем проекцию точки $A_1$ на плоскость $BDD_1$.
Расположим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижней грани $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Длина стороны правильного шестиугольника $a=1$. Высота призмы $h=1$.
Координаты вершин:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$
Чтобы найти уравнение плоскости $BDD_1$, используем векторы, лежащие в этой плоскости.
Вектор $\vec{DB} = B - D = (\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Вектор $\vec{DD_1} = D_1 - D = (-1 - (-1), 0 - 0, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.
Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости $BDD_1$ найдем как векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{DD_1}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(\frac{3}{2} \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, 0)$.
Для удобства можно взять нормальный вектор, умноженный на 2: $\vec{n}' = (\sqrt{3}, -3, 0)$.
Уравнение плоскости $BDD_1$ имеет вид $\sqrt{3}x - 3y + Cz + K = 0$. Подставим точку $D(-1,0,0)$:$\sqrt{3}(-1) - 3(0) + C(0) + K = 0 \implies -\sqrt{3} + K = 0 \implies K = \sqrt{3}$.
Уравнение плоскости $BDD_1$: $\sqrt{3}x - 3y + \sqrt{3} = 0$.
Теперь найдем проекцию $A_1'$ точки $A_1(1,0,1)$ на эту плоскость.
Прямая, проходящая через $A_1$ и перпендикулярная плоскости, имеет направляющий вектор $\vec{n}' = (\sqrt{3}, -3, 0)$.
Параметрические уравнения этой прямой:
$x = 1 + \sqrt{3}t$
$y = 0 - 3t$
$z = 1 + 0t = 1$
Подставим эти выражения в уравнение плоскости:
$\sqrt{3}(1 + \sqrt{3}t) - 3(-3t) + \sqrt{3} = 0$
$\sqrt{3} + 3t + 9t + \sqrt{3} = 0$
$2\sqrt{3} + 12t = 0$
$12t = -2\sqrt{3}$
$t = -\frac{2\sqrt{3}}{12} = -\frac{\sqrt{3}}{6}$.
Координаты точки $A_1'$:
$x_{A_1'} = 1 + \sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{6}) = 1 - \frac{3}{6} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$y_{A_1'} = -3(-\frac{\sqrt{3}}{6}) = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$z_{A_1'} = 1$.
Таким образом, $A_1' = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Это координаты точки $B_1$.
То есть, проекция точки $A_1$ на плоскость $BDD_1$ - это точка $B_1$. Это означает, что отрезок $A_1B_1$ перпендикулярен плоскости $BDD_1$.

3.Определим угол.
Так как $B$ - точка пересечения прямой $BA_1$ и плоскости $BDD_1$, а $B_1$ - проекция точки $A_1$ на плоскость $BDD_1$, то проекцией прямой $BA_1$ на плоскость $BDD_1$ является прямая $BB_1$.
Искомый угол $\alpha$ - это угол $\angle A_1BB_1$ в прямоугольном треугольнике $\triangle A_1B_1B$.
Этот треугольник прямоугольный, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно верхней грани, а значит, $BB_1 \perp A_1B_1$. (Угол $\angle A_1B_1B = 90^\circ$).
Длины сторон треугольника $A_1B_1B$:
$BB_1 = h = 1$ (высота призмы).
$A_1B_1 = a = 1$ (сторона основания).
$BA_1 = \sqrt{BB_1^2 + A_1B_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ (по теореме Пифагора в $\triangle A_1B_1B$).
В прямоугольном треугольнике $A_1B_1B$ для угла $\angle A_1BB_1$:
$\tan(\angle A_1BB_1) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{A_1B_1}{BB_1} = \frac{1}{1} = 1$.
Следовательно, $\angle A_1BB_1 = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ:

Угол между прямой $BA_1$ и плоскостью $BDD_1$ равен $45^\circ$.